多面体描画道楽

Archimedesの多面体はまだsnub cubeとsnub dodecahedronの2つが残っている. 今回は前者 変形立方体に挑戦.

元は立方体である. その各面の正方形を縮小し, どちらかに多少回転する. その方向により, 2つの相対の形がある.

どのくらい縮小するか, どのくらい回転するかを計算しなければならない. そこで次の図のように考える.



3つの似たような図があるが, 上が平面図(z方向から見た), 右下が側面図(y方向から見た), 左下が正面図(x方向から見た)である.

この立体は6の正方形と32の正三角形で被われる. 正方形と正三角形は辺を共有するから, すべての辺は同じ長さになる. それをdとする.

また, 座標の中心を立方体の中心にし, 立方体の1辺の長さを2とすると, A, B, C, Dの座標はそれぞれ

A(1,a,b)
B(1,-b,a)
C(a,b,1)
D(b,-a,1)

である. ABの距離の2乗はd²=(a+b)²+(a-b)²=2a²+2b².

ACの距離の2乗はd²=(1-a)²+(1-b)²+(a-b)².
従って, a+b+ab=1.

ADの距離の2乗はd²=(1-b)²+(2a)²+(1-b)².
従って, 2b-a²=1, b=(1+a²)/2.

このbを上の式に入れると, a³+a²+3a=1. 3次式だから, 実数解はあるはずと思い, WolframAlphaの解いてもらうと, a=0.295598, 従ってb=0.543689, 念のため a+b+abを計算する.

(define a 0.295598)
(define b 0.543698)
(+ a b (* a b)) => 1.0000120414040001

計算は存外簡単であった. 球に内接の件は, どの頂点の座標も, 1とaとbで出来ているから, 当然である.

これさえ分かれば, 変形立方体を描くのはわけけない. いや1点落とし穴があった. 手前の面の座標から, 向こうの面の座標を得るのに, ついyz軸面の鏡面対称を使ったが, 正方形がが傾いているから, z軸に対して180度回転しなければならなかった.



ところで, Archimedesたちが, こういう形になぜ気づいたかは不思議だ.