2015年12月11日金曜日

菱形六十面体を織る

前回のこの題名のブログの終の方に「ちょっとややこしいのが糊しろの部分で, 正六面体のように簡単ではない. その説明はまたの機会にしたい.」と書いたその部分の説明だ.

下の絵を見てほしい. 線がごちゃごちゃ描いてあるが, 前回の最後の図の各帯が菱形六十面体のどの面を形成しているかを示している.



例えばAの帯は, 真中少し下のAの回りのオレンジ色の線に対応している. Aの, 時計でいえば1時の方向に0の面があり, そこから右下へ進んでαの辺から外へ出, 少し下のαの辺から展開図の戻り, 一つおきに1,2,3の面を通り, θから再び外へ出, 上のθの4から戻ってくることを示している.

緑で示すBの帯は, 5,6,7,8,9だが, 5はIの五角形の下の方にあり, 右上に進み, γから出て, 右下のγから戻り, Bを取り巻くように6,7,8,9が見える. Bの場合, 外へ出るのは1回である.

KとLは, 外へ出ないから遥かに簡単である.

ところでこれらの閉曲線には, その色で塗りつぶした三角形と, 白抜きの三角形が書き込んである. 実はそこが糊しろである. 白抜きの方が出発点. 線上にある三角の頂点の方へ進む. これが前回の帯の絵の上端に相当する. Aで言えば0の上の白い部分(下の49と重なる部分)であり, 塗りつぶしの方が下端になる. 線上の三角の頂点の方から下端に到る.

これを眺めると, K, Lは別として, 他の帯は上の五角と下の五角を貫いていて, A,B,C,D,Eは下では円弧, 上では直線であり, F,G,H,I,Jは逆になっている. K以外の糊しろはすべて上の五角の方にある.

つまり下の五角は出来上がった正十二面体の下半分の鉢を構成し, 上の五角は上半分を構成していたわけだ.

底の方から組み立てて, 糊しろが込み合う上面で組み立てが完了するような構造になっていた.

だから組み立て方は, A,B,C,D,Eをほぼ中心で重ね合わせ, その周囲をKの帯で固定し, その辺からF,G,H,I,Jも加わって下の鉢を作り, 中段を過ぎて上の周囲の面に至り, それをLで補強した後, F,G,H,I,Jを上の面に相互に差し込むのである. (糊しろといっても糊をつけて貼るのではない.)

元々の帯が巧みに設計されていて, この図を描くにも, 円弧と円と直線の基本の曲線群を用意してしまえば, たちまちにして完成した次第だ.

2015年12月3日木曜日

EDSACのプログラム技法

EDSACのプログラムを集積したウェブページがある. (詳しくはそこの "To browse the collection of software, click this link."をクリックする.) ここには私の書いたエラトステネスの篩も置いてあって嬉しい(21行目). そこにDavid J. Wheelerの素数のプログラムがあった(15行目). Martin Campbell-Kellyの書いたEDSACの文献(Programming the EDSAC: Early Programming Activity at the University of Cambridge, IEEE Annals of the History of Computing, Vol 1, No. 2.)によると, EDSACには「EDSACの本」で有名なイニシアルオーダーの前にもう一つのイニシアルオーダーがあって, 1949年5月6日の運転開始の日にはその方が使われていた. 同年6月22日にケンブリッジで開催された計算機会議でEDSACが公開され, その時, Wilkesの書いた平方の表とWheelerの書いた素数のプログラムのデモが行われた.

Wheelerは1927年生まれだから, 22歳のWheelerが当時どういうプログラムを書いていたかには非常に興味がある. これはもう読むしかない.

ところがその内容たるや
[Primes]
T107SO92SO93SO94SS5ST6SO95SO95ST7S
A96SR4SS97SE42SL4SA97SG45SS98SG100ST7S
A97SA4ST97SH97SN97SL64SL64SA96SE39ST7S
A96SU1SA4ST96SA99ST97SS88ST7SH91SA1S
E72SV91SS89SE71SA89STLOSH90SV1SL4S
TLA7SA98SG67SA6SA4SG36SE33SP2SP500S
JSP16S#S@S&S!SP2LP1LPLP1L
T7SA99ST97SA4SA96ST96SE39S
だけなのだ. これを読む手がかりはここにある.

読んでみると, やはり面白いプログラムであった. 特にそのプリントルーチンには感心した. 以下にその解説をしたい.





31番地 T107S. このプログラムは最初のイニシアルオーダーInitial Order1で読み込むが, 読み込まれるプログラムが106番地まであるなら, 最初をT107Sとするのであった. つまりイニシアルオーダーには格納命令があり, 最初はT31Sになっていて, 31番地から命令を格納する. つまり, T31S, T32S, ..と変わっていく. そして格納作業の終りは, 格納命令から31番地にある命令を引き, それが正であるかを見る. T107Sを引くと0(正)になるので31番地へ進んでくる. このT命令はアキュムレータのクリア用にも見えるが, すでに0になっている.

32番地は92番地にある#S(figure shift)を出力する. 以下のプログラムが数字を出力するので, その準備.

33,34番地では93, 94番地にある@S(cr), $S(lf)を出力. 次のS5Sはイニシアルオーダーの5番地にあるP5S(10*2^-16)を引き, -10を作り, 6番地(m[6])に入れる. 6番地は -10,-8,-6,..と変わり, 1行に5個の素数を印刷する.

37, 38番地. !S(space)を2個出力. (このプログラムのあちこちにある)T7Sは(67番地のものを除いて)アキュムレータをクリアする.

このプログラムでは素数の候補pから3,5,...と奇数(d)を引き(以後 dを減数という), 0になるかどうかを見ている. (前にも書いたようにEDSACには除算命令はない.) pは96番地, dは97番地にあって, それぞれ5と3に初期化されている.

40から46番地はそのpからdを引く. ただ初めは16*dを負になるまで引き, 次にdを正になるまで足す. これでpをdで割った剰余が得られる. 実際には16*dを引くのではなく, pを4ビット右シフトして引き, 4ビット左シフトして足す. (おおざっぱにいうと単にdを引くより, 16倍加速されている. こういう剰余の取り方はEratosthenesの篩でも使える.)

47番地. EDSACには零ジャンプがないので, 正になったところで1を引き, 負なら零であったということで, 合成数の判定をして100番地へ進む.

剰余が0でなければ, 50,51,52番地でdを2増やし, 53番地からH97Sで乗算レジスタにdを置き, N97S, L64S, L64Sで-d^2を作る. それにpを足し, 減数の二乗が素数候補より小さければ39番地へ戻り, 次のテストに掛かる.

減数が大きくなって素数と判定出来ると, 60番地から先で素数の出力にとり掛かる.

U1Sで素数を1番地に入れ, A4Sでpを2増やして63番地で96番地に入れておく.

素数は4桁で出力するつもりで, 66番地で-4を7番地のカウンタへ入れる.

68番地から76番地は1桁の出力で, 1番地に1234があるとして説明すると, 68番地H91Sで乗算レジスタに2^-11を入れる(32*2^-16=2^-11).

アキュムレータに1234を足す. 72番地へ飛んで89番地にある1000を引く. アキュムレータは234(*2^-16)になり, 正なので71番地へ行く. V91Sだからアキュムレータは234*2^-16+2^-22になる.

再び1000を引くと今度は負になり, 74番地で1000を足し, アキュムレータは234*2^-16+2^-22に戻る.

これを0番地の長語に入れる. つまり左半分の1番地は234, 右半分の0番地はファンクション部に1となる. そこでo命令は0番地を出力するから1が印字される(EDSACの文字コードは2012年9月28日のこのブログ参照).

77番地から80番地は234を10倍する. H90Sで乗算レジスタに10*2^-4を置き, V1Sでアキュムレータは234*10*2^-4になり, 次の左シフトで2340になり, 1番地に戻される.

81番地からは7番地のカウンタを1足し, まだ4桁出力していなければ, 67番地へ戻る.

次は2340だから, 71番地のループは2回実行され, 右半分の方は2*2^-11になって2が印字され, 1番地は3400になる.

4桁出力すると84番地へ来て, 6番地のカウンタにA4Sで2を足し, 5個未満なら36番地, 5個終わっていたら33番地へ戻る.

一方合成数の時は100番地へ進み, 101, 102番地でdを3に戻し, 103,104,105番地でpを2増やして39へ戻る.

この解釈が正しければ, 期待される出力は
  0005  0007  0011  0013  0019
  0019  0023  0029  0031  0037
...
なる筈であった. サイボウズ・ラボの西尾君がEDSACのシミュレータを持っているというので, 試してもらったらその通りであったとメイルが来た.

このプログラムの疑問は素数候補が5から始まることである.

減数を3から始めると素数候補の3は割り切れるから, 3は素数にならない. 3を素数にするには2から割り始めなければならないからなのだ.