2010年3月18日木曜日

時の不定時法

落語の「時そば」でお馴染の九つ, 八つ, ..., 四つという時の表現には, 現代人には理解しかねるものがある. なぜ減るのか, なぜ一つ, 二つはないのか, なぜ九つと八つの間が八つ半ではなく九つ半なのか.

それはまず置くとして, 九つが真昼(12時)と真夜中(0時)もよいとして, 六つが6時と18時ではないのも解せない. 明六つは文字通り夜明けであって, 日の出ではなく, 暮六つは夕暮れであって, 日の入りではない. 六つから六つまでは等間隔らしいがそれも定かではない. お江戸日本橋七つ立ちは確実に暗いうちの出立であった.

これを不定時法というらしい. 英語ではtemporal hourというらしい. まぁとにかく時計がないのだから, 明るくなった, 暗くなったに頼るしかなかったのも頷ける. 国立科学博物館には, この不定時法で動く和時計があったと記憶する. でも季節毎に人手で振り子の錘の位置を調整するらしい. メトロノームの原理と同じだ. セイコー時計資料館のHP参照.

ところで岩波国語辞典の裏見返しに, 気になる図がある. 不定時法の時と現代の時との関係を示す図である. こういう図を見ると, その描き方を考えるのが私の癖で, 今回もそういう話題である.



不定時法の図の説明はこうだ. 季節によって変動する不定時を, 約1ヶ月ごとの点で示す. この図は日出・日没基準ではなく, 一般に行われた薄明(明六つ・暮六つ)基準によって作った. 円の中心点から各点を通過する直線を引くことによって, 今の時刻と対比できる.

なるほどというので, 天文年鑑をとりだす. 東京における日出没時と東京における天文薄明継続時間の表がある. 下の表は左から太陽の黄経30°おきの日付, 薄明継続時間, 日出時刻, 日没時刻である.


[ 320 125 546 1753]
[ 421 131 502 1819]
[ 521 142 432 1844]
[ 622 149 426 1901]
[ 722 143 441 1854]
[ 823 132 506 1822]
[ 924 126 530 1736]
[1024 125 555 1655]
[1123 129 624 1630]
[1221 131 647 1631]
[ 121 129 648 1657]
[ 218 126 625 1725]

これを参考に, 簡単だとばかりに書いてみた.

まったく違う図になった. これはしたり. 昔の人は, 標準時とか平均太陽時とか均時差などの概念はないのだ. 視太陽時が基準である. すると自分で計算しなければならない.



ところで不思議なのは, 天文薄明継続時間である. 天文年鑑には「太陽の高度が-18度になる瞬時と日出時または日没時との間の時間」と書いてある. しかし例えば北緯35°の地点の夏至では, 太陽がもっとも低くなる(北中か?)高度は, -35+23.5=-11.5だから, -18°にならない. この継続時間は1時間25分から1時間40分くらいである. してみると, 高度というのは, 赤緯にそって18°かと考えたが, 1時間が15°なので, 18°は1時間12分にしかならず, 不可思議のままである.

とりあえず, 夏至の昼間(あるいは夜間)の長さを計算してみることにした. 図の上の円は地球を西側から見たもので, 左右の直径が北緯35°の地平線. 傾きの線は夏至, 二分(春分, 秋分), 冬至の太陽の軌跡である. 右上方に南中時に太陽がある. 色は太陽が地上にある部分を示す. 緑は夏至, 赤は二分, 青は冬至である.



右下の円は, 赤道を北から見た図で, これで昼間の時間を計算しようと思った. その結果, θは17.73°であり, それから夏至の昼間の時間, 14時間22分が得られた. 日出, 日没は, 太陽の上の辺が地平線にかかる時刻なのだが, 中心として概算すると, 夏至の昼/夜は, 14時間20分, 9時間40分なので, OKであろう.

一般のδ(太陽の赤緯)に対する真北からの偏角θは

(define (foo delta) (define lat 35)
(let* ((a (sin (d2r delta))) (b (* a (tan (d2r lat)))))
(r2d (asin (/ b (cos (d2r delta)))))))

で計算できる.

太陽の黄経が30°,60°のときのθも知りたい. これに対応する赤緯は, 11.5° 20.0°くらいなので, 8.19°, 14.76°であった. 薄明時間を赤緯方向に20°として図を描くと以下のようになった.



最初の図によく似ているではないか.

後記
青木信仰「時と暦」によると, 明け六つは日出前定時法の二刻半, 暮れ六つは日入後二刻半(一刻は一昼夜の1/100. 二刻半は36分). 不定時法から定時法になったのは明治5年11月末, 太陽暦の採用と同時. 懐中時計の輸入普及が原因と書いてある.
Edward M. ReingoldとNachum Dershaowitzの"Calendrical Calculations"にはThe ancient Egyptians --- as well as the Greeks and Romans in classical times --- divided the day and night separately into 12 equal "hours" each. Because, except the equator, the length daylight and nighttime varies with the seasons, the length of such daytime and nighttime hours also vary with the season. These seasonally varying temporal (or seasonal) hours are still used for ritual purposes among Jews. の記述あり.

2010年3月14日日曜日

京王線調布駅

京王線の調布駅の列車運用は実に見事である. 普段は下車すると直ぐに改札を出るし, あまり何も考えずにアナウンスに従って乗車するが, 時刻表を調べてみた.

朝晩はややこしいが, 平日の昼間の20分間のダイヤは以下のようであった. つまり20分のネットダイヤである.

京王線下り 上り 相模原線下り 上り
着 発 着 発 着 発 着 発
準特 04 05 各停 03 03 快速 03 06 快速 07 09
各停 07 08 準特 07 08 急行 13 15 各停 13
特急 14 15 各停 13 13 各停 19 急行 17 19
各停 17 18 特急 17 18

図に示すとこうなる. 特急, 準特急, 急行, 快速は時刻表の表示と同じである. また破線は相模原線を示す. 調布の上り方は京王線だが, 途中で実線に変えるのは面倒なので, 破線のままだ.



これで分かるように, 相模原線の上り列車は7分, 13分, 17分に京王線の上り列車の4番線への到着と同時に, 平面交差して3番線に到着する. 4番線から8分, 18分に準特急, 特急が出発した1分後に3番線から快速, 急行が出発する. 13分には各停が京王線, 相模原線から同時着し, 京王線が出発した後, 相模原線から来た各停は, 本線を布田方へ引き上げ折り返しの準備をする. 下りに注目すると, 京王線は17分に各停が到着, 18分に出発するが, その直前に折り返しの車が1番線に戻ってきていて, 19分に出発する. ここが最も神業のところだ. 急いで折り返せるように, 運転士がもう1人乗っている. 後は3分に快速が到着, 4分に準特急が到着, 5分に準特急が出発した後, 6分に快速が相模原線へ出発. 13分に急行が到着, 14分に特急が到着, 15分に同時発する. これが何事もないように20分毎に繰り返される. なお, 相模原線内で区間運転の各停には, 都営の車も使われている.

周知のように, 調布付近は連続立体交差の工事が進行中で, 2012年度に工事が完成すると, この光景は見られなくなる.

参考: 調布駅構内の配線は以下の通り.

2010年3月12日金曜日

ビットスワップ

Knuth先生のTAOCPは多くのことを盛り込みたいが故に, 説明は最小限であって, 手を動かし, プログラムを書き, 考えないとなんのこっちゃである. 7.1.3項演習問題52, 53もその類いである.

まずδswap. 下の図のxはビット列で, そのブロックAとC, BとDを交換し, x''としたい. 交換するブロックの長さはそれぞれ等しく, ブロック間の距離δはすべて等しい. その方法は, まずxを右にδ桁シフトしxと排他和をとり, 右側のブロックの形111...1でマスクし, yとする. ABA⊕Bのこと. xとyの排他和をx'とする. yを左にδ桁シフトしx'と排他和をとりx''とする. これをδswapという.



TAOCPではこの話題の前に, ビット列のi番目とj番目を交換したい. 本書の解を見る前に自分の方法を考えよとある. 私の考えはこれと同じであった.

この方法で64ビットのビット列を反転するには, 左右32ビットずつをそれぞれ反転し, 32ビットのブロックを交換する. それには032132のマスクがいる(0が32個並び1が32個並ぶパターンをこう書く). となり同士のビット交換には, ...010101のマスクがいる.
2kビットの0と2kビットの1で出来た(つまり...02k12k)長さ2dビットのマスクをμd,kと書く. 上の32ビットごとのマスクはμ6,5であり, ...010101はμ6,0である. ...010101は...111111を3で割ればよい. ...00110011は...11111111を5で割る. つまりμd,k=22d-1/22k+1である. これはパラメトロン計算機の頃からの常識である. この応用で1/3は二進法では0.010101..., 十進法の0.1は二進法では0.0001100110011...なのが分かる.

さて64ビットのビット列の任意の置換は, 適切なマスクθk, θ'kを用い,
k=0,1,...,5について x←θkによるxの2kswap.
k=4,3,...,0について x←θ'kによるxの2kswap.
で出来ると書いてある. 64ビットの反転はこの前半だけでよい.

この応用が演習問題52である. 次の各場合の置換のためのθk, θ'kを求めるのだ. もとの各ビット位置をj=(j5j4...j0)2とする.

a)完全シャッフル
jπ=(j0j5j4...j1)2
b)8×8ビット行列の転置
jπ=(j2j1j0j5j4j3)2
c)4×16ビット行列の転置
jπ=(j1j0j5j4j3j2)2
d)FFT(Fast Fourier Transform)に出てくるパターン
jπ=(j0j1j2j3j4j5)2

例を示すのに64ビットに名前をつける.RFC1341のBase64 Alphabetを用い

とする.左端Aの位置が111111, 右端/の位置が000000, 中央fが100000, gが011111である. 従ってa)の場合はgのj5の0が右端へ移動し111110に変わり,62になるからAの右に来る.そう考えると

にしたいのだ.

今は理解が先だから,まず解答を見てみる.

a) 0<=k<5についてθk6,k&μ6,5, θ'k6,k&(μ6,k+1⊕μ6,k-1);
θ54-1=0
と書いてある.

ではやってみよう.64文字はブログの画面では長すぎるので, 32文字のところで分割する. 各マスクの右はシフト数である.

一体どうなったか. まず32ビットシフトの直前までは, 右半分32ビットの反転である. これは簡単. そこで左, 右の32ビットの落ち着き先をみると, Aは63, fは1, /は0, gは62なので, 63-1(奇数のみ) 0-62(偶数のみ)である. 63-1 0-62 と書く. それぞれのブロックを中央で分けると, 落ち着き先は
63-33 31-1 0-30 32-62 [3 2 1 0]. 右の[と]の中はブロック番号. ブロック2と0を交換すると
63-31 32-62 0-30 31-1 になる. クイックソートと同じで, 今後中央を越えての移動はない.
またそれぞれを半分にする.
63-49 47-31 32-46 48-62 0-14 16-30 31-17 15-1 [7 6 5 4 3 2 1 0]
ブロック6と4, 3と1を交換. 左半分は右半分のほとんど鏡像だから, 右半分に注目.
31-17 16-30 0-14 15-1 になる. 半分にする.
31-25 23-17 16-22 24-30 0-6 8-14 15-9 7-1 [7 6 5 4 3 2 1 0]
6と4, 3と1を交換. 右半分に注目.
15-9 8-14 0-6 7-1
半分にする.
15-13 11-9 8-10 12-14 0-2 4-6 7-5 3-1 [7 6 5 4 3 2 1 0]
交換. 右半分を見ると
7-5 4-6 0-2 3-1
で, 文字では cd98/+ef. 次はdと8, /とeを交換 (2)
7 6 4 5 3 2 0 1 になる. c89de+/f
dと9, /とfを交換 (1) 7 6 5 4 3 2 1 0 になった.

とまぁこういうことをやったのである.

他の場合については別の機会に.