多面体描画道楽

Archimedes多面体には, もう1つの二十・十二面体がある. 英語ではtruncatedicosidodecahedronとかgreat rhombicosidodecahedronという. 日本語では切頭二十・十二面体であろう. 図を描くのは存外難しかった. (いや, さらに難物が今後に控えている.)

これは正十二面体の12の正五角形を正十角形にし, その隙間に20の正六角形と30の正方形を詰めたものである.

まず, 正五角形に内接する正十角形を作らなければならない. それには, 下の図のように考える.



左のPOは, もとになる正十二面体の1つの正五角形を横(y軸)方向から見たものだ. この下の稜線上にx方向から見える正方形があり, その1辺の長さを2xとする. このxは, 正五角形の面内では, yの長さになる. 面のなす角をαとすると, y=x/sin αだ. 但し, tan α=(3+√5)/(1+√5).

右は, 正五角形の右下を法線方向から見たものだ. Aの所に54°の三角形があり, その縦はy+x sin 36°, 横はOAが1だから, 1-x-x cos 36°であり, この比がtan 54°なので, xが解ける.

この代表の正十角形の各点のx, y, z座標は

    x                  y                   z
0 2.4180339887498947 -.3236067977499789  .32360679774997897
1 2.218033988749895  -.8472135954999578  .6472135954999579
2 1.8944271909999162 -1.0472135954999577 1.1708203932499366
3 1.5708203932499372 -.8472135954999578  1.6944271909999156
4 1.3708203932499372 -.32360679774997897 2.0180339887498944
5 1.3708203932499372 .3236067977499789   2.0180339887498944
6 1.5708203932499372 .8472135954999578   1.6944271909999156
7 1.8944271909999162 1.0472135954999577  1.1708203932499366
8 2.218033988749895  .8472135954999578   .6472135954999578
9 2.4180339887498947 .3236067977499789   .3236067977499789

と計算出来る. Archimedesの多面体も, 各頂点は球に内接するから, 上の座標からx²+y²+z² を計算したのが下だ.

0 2.4609614157580197
1 2.46096141575802
2 2.46096141575802
3 2.4609614157580197
4 2.4609614157580197
5 2.4609614157580197
6 2.4609614157580197
7 2.46096141575802
8 2.46096141575802
9 2.4609614157580197

まぁ, よかろう. あとは隙間の面を指定するだけである.

そうして描いたのがこの図である.