2016年8月13日土曜日

複素数用計算尺

複素数用の計算尺があるという話をブログに書いたのは, 2009年8月のことだ.

最近すこし図を描き直し, Webでも楽めるようにしたので, その話をしたい.



上の図は対数の複素数を示す. 点Aから右へ延びる実線は1より大きい正の実数軸. Aは(虚数部が0の)複素数1. Bは複素数2, ...で, 2,3,4,...と対数的に間隔が狭くなっている.

Aで実数軸と交わる実線の曲線は, 実数部が1で虚数部が何かの複素数である.

一方, 点Cから右へ延びる破線はiより大きい正の(?)虚数軸. Cは(実数部が0の)複素数i, D は複素数2i, ... で, こちらも2i,3i,4i,...と対数的に間隔が狭くなっている.

Cで虚数軸と交わる破線は, 実数部が何かで虚数部がiの複素数である.

従って点Eは, 複素数1+iを示す.

実はこの上の図は下の真数のGauss平面を対数化したもので, 真数の図では実数軸と虚数軸の交点に0があるが, 対数では0は無限に遠くにあるので, 実数軸と虚数軸が平行になってしまう. 対数の図で, 実数軸と虚数軸の間にある部分は, 真数のGauss平面の第一象限に対応する.



この図には描いてないが, 正の実数軸の反対側には負の実数軸があるわけで, それは最初の対数の図では, Cから右に伸びる虚数軸のさらに上に現る. Cから上へACの距離だけ行ったところに, 負の実数の出発点 -1があって, 正の実数軸と同様に=1, -2, -3,...が右に出てくるのである.

さらにその上というか, Aから出発する正の実数軸の下というかに, 負の虚数軸があるのだが, 図がごちゃごちゃするから省略してある.

省略はそれだけではない. 10, 10i -10などの右には, これと同じパターンがあって, 20,30,... 20i,30i,... -20,-30,...と続くのである.

また左には0.9, 0.8,...があるのは理解できるであろう. つまり上の図はほんの一部を示しているに過ぎない.

もっと広範に描いて見ると, 下のような図になる.



前置きが長くなった. この図を使って複素数の乗算をするにはどうするかを述べよう. 通常の計算尺では, 2つの対数尺A, Bが次の図の上のように上下に並んでいて,

2掛ける何かを計算したければ, 下の図のようにB尺の1をA尺の2に合わせ, 例えばB尺の3に相対するA尺の目盛り6を見て, 2×3は6なることを 知るのである.

対数でも同様で, 1+iに何かを掛けようとするなら, B尺に相当する赤い図の1(点A)をA尺に相当する黒い図のEに合わせ, B尺の何か(例えば1+i(E))に 相対するA尺の値(Dつまり2i)を知る.



(1+i)×(1+i)=12+i2+2iで, 1の2乗とiの2乗の和は消えるから2iで正解だ.

このwebプログラムは http://www.iijlab.net/~ew/complexsr.htmlに置いてある. B尺のAを置きたいところをクリックすると, A尺が薄い色になり, 濃い色のB尺の1がその場所へ移動するから, B尺の乗数に相対するA尺を読めばよい.