双曲線

円錐曲線の中で, もっとも馴染みがないのが双曲線である. したがってda Vinciも双曲線コンパスは考えなかったかも知れない.

反比例 y=1/xを習うと, この形は双曲線と教わる. 確かにx軸とy軸は漸近線だし, 第1象限と同じ図形が第3象限にもある.

xy=1を x'=√2 x-√2 y, y'=√2 7+√2で置き換える. つまり45度回転すると, 確かにx²/2-y²/2=1となり, 双曲線である.

ところで, 双曲線というと, 以前から気になる文言がある. 高橋秀俊先生の「数理と現象」に

「楕円は丸い茶碗やお盆を横から見たときの形として, 万人の日常接しているところであるが, 放物線と双曲線はそれほど親しみがあるとはいえないかもしれない. しかし, 円錐曲線はすべて円錐の切り口, つまり円形をある方向から見たときの形であって, 誰でも目にふれるはずのものである. すなわち大きい円を近くから見て, 円の一部が眼よりも後に来るような場合は, 円は双曲線(の片側)に見え, ちょうど眼の平面(眼のところを通って視線に垂直な平面)に接する場合は放物線に見えるのである.」

と書いてある. 確かに付随する写真では放物線や双曲線のように見える. これはどういうことか, ずーっと疑問に思っていた.

私は自他ともに認めるPostScript描画大好き人間なので, さっそく図を実際に書いてみることにした.




すなわち, 円Oの中央の真上の点Hから, 水平に置いた円Oを, その円周上で接している面Pに投影し, 得られる(赤線の)図形を描いてみたのである. 特殊な環境だが, 計算式を簡単にしたかったからである.

たしかにHの真横の円の部分は右下, 左下の遠方に投影されるから, 双曲線になりそうである. そして出来た図が下である.






視点HをOの真上にとったのは, 怪我の功名であって, 実はHを頂点とする円錐を平面Pで切ったので, 断面が双曲線なのは当たり前である. 高橋先生がいわれるのは, 円内のもっと一般的なところで見ても双曲線ということで, それには別の視点が必要そうだ.