Heronの式

前回のブログ「四面体の体積」に名称だけ出てきたHeronの式というのがある. 三角形の3辺の長さをそれぞれa, b, cとし, (a+b+c)/2をSとすると, その三角形の 面積は√S(S-a)(S-b)(S-c)というのである.

たとえば, 辺の長さが3,4,5のPythagoras三角形ではS=6だから, 平方根号の中は 6×3×2×1=36で, 面積は6だ. 右の図, 1辺が2の正三角形では, S=3で, 根号内は3×1×1×1=3で, 面積は√3である.

Heronの式を覚えた時, これが正しいという証明を見たかどうかは分らない. 勿論, Sの次元は長さ, S-a,S-b,S-cも長さなので, 根号内の次元は長さの4乗; 開平すると 2乗になり, つまり面積だ. そういえば, 前回のブログにあった, 四面体の体積を6本の 辺の長さから求める式も体積の次元になっている. あたりまえだ.

でも定量的に合っているかを調べるのが今回の頭の体操である. 方針としては, 根号の あるのがウンシャンだから, 面積の二乗の値を考えることにする. 例題の三角形は こういう頂点名と辺名を持つ. 計算の途中で時々数値的にチェックするのにもこれを 使う. この三角形は∠Aが直角なので, 面積は√8×√18/2=6だ.

式を使わざるを得ないから, Texの出力のpdfにも助けてもらおう.

式(0)はHeronの式で, 2乗すると(1). Sを定義で戻し, 展開したのが式(2)である. この程度 の計算はWolframAlphaにやって貰う.

三角形ABCの各頂点の対辺をa,b,cとすると, その各々の2乗もpdfにある通り. これを 式(2)の分子に入れて展開するわけだが, これは中々面倒である. WolframAlphaも 時間がかかるとか文句をいうし, 我が家のRapsberry PiのMathematicaは今は ネットに繋っていないので, 使い勝手が悪い. 結局は多項式の乗算のプログラムを Schemeでちょこっと作り, それで展開した. 時々例題の値を入れて験算する.

そして展開した結果は項数21のpdfにある式である. これも目がくらくらするから, x_ix_jy_ky_lについて, ijと klの対の項の係数を表にしてみた. さらに例題の座標で験算すると576. 16で 割ると36だ. しめしめ.

さてこの式は本当に三角形の面積であろうか. 頂点の座標(x₀y₀), (x₁y₁),(x₂y₂)の三角形の 面積(頂点の回り方によってはその負数)の式は, 幸いにも私は高校生の頃から知っている. 次のpdfにある式だ. 行列式を計算式にしてその分子の2乗を展開すると, またもや項数21の多項式が得られた. 今回もその係数の表を作るとブラボー! 先の表の1/4の値である. という訳けで Heronの式は面積になるのであった.

だが待てよ. この行列式はなぜ正しいのか. こちらも気になったので, 計算してみた.

図の三角形の, 座標軸に平行な線での外接長方形を作る. それから長方形の辺と 三角形の辺で作る3個の三角形の面積を引く. そういう式を作ってみる.

WoflramAlpha様に

Expand[(x2-x1)(y0-y2)-(x0-x1)(y0-y1)/2-(x2-x1)(y1-y2)/2-(x2-x0)(y0-y2)/2]

と伺いを立てたら

(x0y1)/2-(x0y2)/2-(x1y0)/2+(x1y2)/2+(x2 y0)/2-(x2y1)/2

のお告げが出た. 整理すると

(x0y1+x1y2+x2y0-x0y2-x1y0-x2y1)/2

となり, 行列式の値と一致している. もう一度ブラボー! ちゃんとした証明でもないが, 私にとっては十分納得出来る頭の体操であった.