地図のミウラ折り

ミウラ折りの地図が疊まれていく様子は一見なんとも不思議である. 今回はそれを検討した結果を書いてみたい.

下の図は1個の区画が折れ曲るところを描いたもので, 立体座標x,y,zを図のように設定する. 地図の1区画はABCDの形で, ABが前のブログの図の横方向の折り線, ADが左右に少しずつ屈折する縦方向の折り線である. 中の図で見るように∠BADをγとする. (γは鋭角である.)

上は区画が水平面(xy面)内にある場合で, 辺ABはx軸に接している. 辺ADとx軸の角をβとする. 今はβ=γである. これから辺ABをAを中心として時計回りにxz面内に回転し(ADで山折りにし), 辺ABとx軸の角をαということにすると, 今はα=0である.

辺ABを, xz面内で回転している途中が中の図である. αは50°になったところだ. 縦の折り線は山折り同士, 谷折り同士高さが揃っているから, 辺ADはxy面内を回転する. γは一定だから, βは徐々の縮小していき, 図のような形になる.

さらにBを下へ回していくと, Dはますますx軸へ接近し, αが区画の角度γに等しくなった時に, 辺ADはx軸に重なる(βが0になる). それが下の図である.

この区画以外の最初に水平面にあったどの区画も, この図のようにxz面内に収まってしまう.

αが増えるにつれ, βの減る様子は, γが一定だから, α, β, γの関係から分るわけだ.

原点に立つ2個のベクトル(a₀,a₁,a₂)と(b₀,b₁,b₂)のなす角θは

cosθ=(a₀×b₀+a₁×b₁+ a₂×b₂)/(√(a₀²+a₁²+a₂²) √(b₀²+b₁²+b₂²))

で得られる. 上の図でいえば, ABとADの作る面積を考えればよい.

AB=l, AD=sとすると,

a₀=l cosα, a₁=0 ,a₂=l sinα, b₀=0, b₁= l cosβ ,b₂=s sinα

だから

cos γ=(l cos α s cos β)/(l s)= cos α cos β

β = cos^-1 (cos γ/cos α)

γが84°の時のαとβの関係は次のようだ.

以上は1区画であったが, 隣接の区画を追加し, 3×3の区画での動きを描いたのが次の図である. 区画の境界点に0から15まで番号をつけた. また山折り谷折りの色もつけた. 地図の周囲は黒で描いてあるが, 縦の境界は地図の中と同様に曲げてある.

上はα=0で, 縦線が屈折しているから平面と見るのは難しいが, 全体は平面である.

中と下はαが53°と83.7°(γになる直前)に対応するものである.

さらに隠面消去したのが次の図である. 境界点の番号は残してある.

私はこれで疊まれ方が理解できたが, どうであろうか. この3×3を疊む動画がhttp://www.iijlab.net/~ew/miurafig.htmlに置いてある.