TAOCPのフィボナッチ数の話題(1.2.8)には
Fn+1Fn-1-Fn2
=(-1)n
というこれも気になる式がある.
1·0-1·1=-1
2·1-1·1=1
3·1-2·2=-1
5·2-3·3=1
8·3-5·5=-1
たしかに.
証明したくなった. 式が沢山でてくるので, Texで書いたものが下である.
式0が証明したいもの. Fnはφとそのハットを使って式1の
ように書ける.
式2がそれらの定義だ.
φとφハットの積や比は, 式3と4のようだ.
さて, 式0の左辺に式1を代入したのが, 式5である.
とりあえず 1/√を忘れて, 式6のように第1項を掛ける. 第2項の積は
式7のようになる.
6から7を引くと, 式8が得られるが, 先程保留していた分母の√5が2個ずつ
あったので, それで5が消え, (-1)nとなる.
2017年3月2日木曜日
登録:
コメントの投稿 (Atom)
0 件のコメント:
コメントを投稿