長い間 気になっていたが, 先頃 証明した. 図を見てほしい.
図の下は破線のAD'B'E'が縦1, 横φの黄金比の菱形である. 実線のADBEは角Aが72度で縦が1の菱形である. この横の対角線の長さを以下eとする. 黄金比の方の角Aの半分は31.7175°である.
図の上の直角三角形は底辺が下の実線の菱形の横の対角線, 斜線が黄金比の対角線で, これを描いてみると角Aがやはり31.7175°になるのである. この角を以下θとする.
証明したいのは, 上の31.7175°, つまりcos θ=e/φが下の31.7175°, つまりtan 2/φに等しいということである. 一連の計算は下の通り.
φの値はよく知られている. tan 36°はcos 36°がφ/2 から計算できる.
(0)上の図のθが欲しいので, atanの式を書く. 以下atanの引数を計算する.
(1) φとeの値を代入する. (2)根号の中, 第1項を展開し, 第2項の分母を有理化する. (3)根号の中を通分し, 1/eの値を書く.
(4)根号の中の分子を計算する.
(5)根号の中, 分母分子を2倍すると, 分母分子とも開平出来た.
一方 1/φも計算すると(6)(7)同じ値になった. めでたしめでたし.
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