Martin GardnerのPiの話を読んでいたら, 下のような図があり, おやっと思った.
円の半径を1とすると, FGの長さが16/113になるというのだ. 本当かと思い, 計算してみた.
図はこのように描いてある. ACGは半径1の円の1/4である.
BはCAのCから7/8の点, DはBGのGから1/2の点である.
DからACと平行にDEを引き, CG上の点をEとする. DからBEと平行にDFを引き, CG上の点をFとする.
BGの長さを計算すると BG2=(7/8)2+12=(49+64)/82
=113/82
BCGとDEGは相似だから EG/CG=DG/BG ∴ EG=CG*DG/BG
BEGとDFGは相似だから FG/EG=DG/BG ∴ FG=EG*DG/BG
この2つから FG=CG*DG/BG*DG/BG
CG=1だから FG=DG2/BG2=(1/4)/113/82=16/113
もう何だか分った人も多いだろうが, この値に3を足すと(3*113+16)/113=355/113で円周率の近似値になるのである. つまりFGは円周率の小数部分であった.
2015年1月12日月曜日
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