素因数探し

昔は計算機はなくても, 計算用の道具はいろいろあった. 12月3日のブログに書いたfactor stencilもそういうものの1つである. 竹内端三先生はfactor stencilを「因数型紙」と訳された.

Derrick Norman Lehmerがfactor stencilを作ったのは1925年頃のことである. それ以前, 1914年にLehmerは10006721までの素数表を完成し出版した. といってみるだけは簡単であるが, 665000個の素数があるわけで, (Legendreの素数定理で計算すると(define (pi x) (/ x (- (log x) 1.08366))) (pi 10006721) => 665556.99...) 1ページに5000個ずつ, 133ページに収められている.

その第1ページ目には48593までの素数が縦100行, 横50列に印刷してある. factor stencilはこの第1ページの素数の, それぞれのRに対応する位置に穴を開けて作られた. Lehmerの当時の寄書に, "The device for cutting the stencils is already constructed and..."とあるから, 何かの器具を工夫したのであろうが, 詳しいことは分からない.

かくして作られた初版のfactor stencilには, しかし誤りが多数あったようで, 1937年にMichigan大学のJ.D.Elderがそれらを指摘するとともに, そういうものを作るならHollerithカードで作るのはどうかと提案した. Hollerithカードは, 今から50年くらい前, FortranプログラムをパンチしたいわゆるIBMカードで, 20世紀の初めの頃のアメリカの国勢調査の集計用にHerman Hollerithが開発した. 統計機械で読むため, 穴の位置は正確であり, パンチ用の機械も沢山あったはずだ.

Lermerもその案に賛成し, Elderに多くのノウハウを提供した. そういう次第でHollerithカード版のfactor stencilが完成出版されたらしい. 1枚のHollerithカードの, 縦10行横80列の位置を使い, Lehmerの5000個の代りに, 7枚の組で5600個の素数を収めたという. これが完成する直前にLehmerは他界した.

Hollerithカードのfactor stencilがどのようなものであったかに私は興味を持った. Lehmer流に素数を1から始めると1枚目のカードの最後の800番目は6131であり, そこまでの素数について, R=-1とR=2(12月3日のブログの表の1行目と2行目

    3 5 7111317192329313741434753596167717379838997
-1    X     X X     X   X X     X   X     X     X X
 2      X     X   X   X   X   X         X X X   X X

)について, 多分このようであったろうと想像して描いてみたのが下の図だ.




IBMカードは昔のプログラマにはお馴染だが, 最近は見たこともない人が多かろう. この図のように, 横187ミリ, 縦83ミリ程度のカードで, 向きが分かるように, 隅に1ヶ所にコーナーカットがある. 下の拡大図で分かるように, 0から9の行番号は大きい数字で, 0から79の列番号は小さい数字で示す. 本来のIBMカードの列番号は1から80であり, 行は0の上にXとYとがある.





列0, 1の各行に対する素数は

     0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
列0  1  2  3  5  7 11 13 17 19 23
列1 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67

である. 列2以降に対しても, 素数表があれば, 穴の位置と素数は対応づけられる. 上の表と図の穴の位置とを較べてみて欲しい.

こういう絵を描くと, 実際に穴のあちあカードを作ってみたくなる. 鎌倉のFabLabの田中君と相談し, craftroboを使って試作したR=2のカードが下だ. まだ調整の必要があるらしく, うまく切れていない穴もあるが, 感触は得られた.



プログラムのカードと違い, 穴の数が多くてバイナリカードのようであり, 丁寧に扱わないとすぐに切れそうなのが心配だ. Edlerの作ったカードのセットはどこかに残っていないかしら.