2010年7月24日土曜日

再帰曲線

このブログにドラゴン曲線のことを書いたのは, 1年くらい前のことである.

ウェブでドラゴン曲線の画像を眺めていたら, 4つのドラゴン曲線を組合わせて, 平面を埋めている絵があった. 早速描いてみることにした. 次がその戦果である.


もちろんドラゴン曲線は角で直角に曲がるのだが, 通過の仕方が分かるように, 四角の部屋を丸く掃く居候モードで描いてある.

問題は, それぞれの色のドラゴンが重ならないかということだ.

ちゃんと証明するのは面倒だが, ドラゴン曲線をフラクタルで描くステップを考えると, 当たり前のような気がする.

フラクタルでの描き方は次のようだ.



まず0次の線を赤のように引く. 左から右に向って引いている積りだ.
次に1次の線を青のように, 赤の線分を右に三角形に膨らませるように引く.
2次の線は, 橙のように, 青の線分を最初は右に, 次は左に膨らませる.
3次の線は, 緑のように, 橙の線分を右, 左, 右, 左と膨らませる.
これを適当な次数まで繰り返す.

描画アルゴリズムとしては, n次のフラクタルを描きたいというサブルーチンで始める. 次数が0なら始点と終点を引く. そうでないなら, n-1のフラクタルのサブルーチンを呼ぶのである.


このようにして描いた, 0次, 2次, 4次, 6次は次のとおりである. 8次の図はこのブログ先頭のものだ.






重ならない理由がなんとなく納得出来たであろうか.

ついでに10次と12次の図も示すと次のとおり.


0 件のコメント: