2009年11月4日水曜日

ドーナッツを截る

前のblogでドーナッツの断面の平面図を描いたが, ドーナッツがどう見えるかは, あれからでは, よく分からない人が多いのではないか.

そこでもう少し違う角度の絵を描いてみることにした.



この図は, 前の最後の絵に似ている. ただ楕円が2つあり, それぞれ直かに楕円として描いた. 青の楕円は, 長軸の上が(0,0.5), 下が(0,-1.5), 短軸の右が(√3/2,0), 左が(-√3/2,0)なので, 座標の原点を0.-0.5に移動し, スケールを(√3/2,1)に設定して, 半径1の円を描いている.

さて, 任意の鉛直面P,P'でドーナッツを切ったとき, その面と交わる楕円の位置は(y+0.5)2+4x2/3=1とy=kxの交点だから, EとFは簡単にえられる.

P,P'がドーナッツを切る2つの円を母線ということにすると, EやFがその母線と交わる点も分かり, 母線の円の中心からの角度も分かる.

例えばAでは青楕円も緑楕円も120度になり, その点でのドーナッツは切断面と接するので, 母線全体は残る. y'の方向では, 青とは0度, 緑とは180度で, ドーナッツの下半分が残り, 上半分は切り取られる.

これを細かい間隔の母線で決定し, それを描いたのが, 次の図である.



最初の図は, 切り取る部分がまだ置いてあって, 切り取る部分の母線には, 色をつけた. 色はxからy'が赤, y'からx'が青, x'からyが緑, yからxが橙になっている.



もう一つの図が上半分をどけた図で, 切断面は破線で描いてある. 隠面消去していないので, 描いてはみたが, やはりちらついて, 納得出来ていない. 母線の一部の円弧は, みな下向きに垂れ下がっていると思って見る必要がある.

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