WolframAlphaのロゴの菱形六十面体. 最初は立体がよく認識出来なかったが, 模型を作ったり計算したりしているうちに, よく分かるようになった. 目がひとりでに凹凸に反応するようになった.
そうなると, いよいよ計算図学のお出ましで, いつものようにPostScriptで描いて見たくなる.
菱形六十面体を描くには, 上の正十二面体の各面に, 中を窪ませて, 5つの菱形を貼ることになる. その座標を計算しなければならない.
この正十二面体を描いた時の各稜の長さは2だったので, 下の図の
0から
10までの頂点の座標を, CDの長さを1として求めたい.
CD=1,
AC=tan 54°=1.376,
AB=BD=1/cos 18°=1.051,
AD=1/cos 54°=1.701,
AA'=h=AD tan 31.7175=1.051
までは簡単である.
この面を起して正十二面体に貼るのが次の図である. これはY軸方向から見た図で, XPが正十二面体の1つの面である. PZは長さ1で, 別の方向の稜の半分である. その結果, 1つの面の11個の点の座標が決る. (XPA'の角度atan(1.618/2.618)が実は31.7...°なので, 上の右の図と同じである.)
(define ver
'((2.618 -1 0) ;0
(2 0 0) ;1
(2.618 1 0) ;2
(1.618 1 .618);3
(1.618 1.618 1.618);4
(1 .618 1.618);5
(1 0 2.618) ;6
(1 -.618 1.618);7
(1.618 -1.618 1.618);8
(1.618 -1 .618);9
(1 0 .618) ;10
))
(define fs
'((0 9 10 1) (2 1 10 3) (4 3 10 5) (6 5 10 7) (8 7 10 9)))
verはverticesで頂点の座様である. 0.618が多いが, これは√5=2.236...の小数部の半分である. つまり2.618=(√5+3)/2, 1.618=(√5+1)/2, 0.618=(√5-1)/2である. 0,2,4,6,8の座標は, 最初の正十二面体の0,1,2,3,4の座標と当然合っている.
fsは各面を構成する頂点の番号を一定の方向に回りながら指定する.
一方, 点10の座標をとるのに, 菱形の長い方の対角線が2であり, 点10がzx面上にある, つまりy座標が0なことがわかっているので, xとz座標を連立方程式で解けるはずであり,WolframAlphaで解いてみた.
((3+(sqrt 5))/2-x)^2+1+z^2=(5-(sqrt 5))/2,
(1-x)^2+(((sqrt 5)-1)/2-z)^2=(5-(sqrt 5))/2
これからx=1, z= (√5-1)/ 2 が得られた.
1つの面の座標と面の番号が確定すると, 後はこの座標の鏡像をとったり, 座標軸に対して回転したりすると, 他の面の情報も苦もなく得られる.
2009年2月20日のブログ参照.
これまで正多面体をずいぶん描いたが, それらは凸形であった. 菱形六十面体には窪みがあり, 同じように描けるとは思えない. 今回はZバッファー方同様に, 60ある面を遠方から手前の順に並べ, 遠方から描くようにした. 結構いい加減な発想だが, うまく行かなければまた考え直すことにして, 兎に角やってみる.
最初に出来た図は下のようである. 計算でこういう絵が出来ると, やはり感動する.
この図は最初の正十二面体と同じ方向から見たように描いてある. 赤線のように飛び出した頂点を結んでみると, 最初の正十二面体に内接していることが理解出来る.
前々回のブログにあったように面に色を塗るとこのようになる.
面白いのは右下の2つの小さい緑の面で, 上の正十二面体では, 右下の破線で囲まれているむこう向きの面である. 手前の2本の実線の稜線が引っ込んだことと, むこう向きの面の中央が窪んだため, 奥の面がこちら向きになって, 見えるようになった.
正面上方の赤い面の方向から眺めた絵を描くと, WolframAlphaの(色違いの)ロゴが出来る. よく見るとロゴの中の星は下が尖っているから, 上下逆さまのようだが, まぁよかろう.
しかし, このロゴを描くだけなら, 遥かに簡単だ. 線の長さはみな同じ. 線の方向も5通りしかない. 線同士の接続順さえ押さえれば, このロゴは描くことが出来る.
/un 80 def %unit length
/ev {36 mul 72 sub dup sin un mul exch cos un mul} def
/rl {ev rlineto} def /rm {ev rmoveto} def
/a {0 rl} def /b {1 rl} def /c {2 rl} def /d {3 rl} def
/e {4 rl} def /f {5 rl} def /g {6 rl} def /h {7 rl} def
/i {8 rl} def /j {9 rl} def /l {1 rm} def /n {3 rm} def
/p {5 rm} def /r {7 rm} def /t {9 rm} def
/u {1 0 0 setrgbcolor} def /v {0 0 1 setrgbcolor} def
/w {0 1 0 setrgbcolor} def /x {1 0.5 0 setrgbcolor} def
/y {0 setgray} def /z {0 0 moveto} def
300 300 translate
/as {z l n g f i h a j c b e d} def %center
u as fill y as z b z d z f z h z j stroke
/k {z r f g a i b j d e} def %6 o'clock
w k fill y k z r g l i stroke
/m {z p d e i g j h b c} def %8 o'clock
x m fill y m z p e t g stroke
/o {z n b c g e h f j a} def %11 o'clock
v o fill y o z n c r e stroke
/q {z l j a e c f d h i} def %1 o'clock
x q fill y q z l a p c stroke
/s {z t h i c a d b f g} def %4 o'clock
v s fill y s z t i n a stroke
この程度に単純に描ける. 周囲の5つのパターンは, 72°ずつ回転しても描けるが, a→c→e→g→i→a, b→d→f→h→j→b, l→n→p→r→t→lの置換が面白く, このままにしてある.
なお, Processingで描いた動画が
http://playground.iijlab.net/~ew/rhomb/rhomb.htmlにある. マウスを押すと初期状態に戻り, どれかキーを押すと停止する. 理由は不明だが, ロードに1分少々時間がかかるので, 辛抱して待って欲しい.
