HP-16Cのプログラム技法

HP-16Cにあって私の個人用電卓にない機能のひとつが実数演算である. なにしろHP電卓設計チームのひとりがIEEE 754の代表のWillian Kahanなのだからあるのは当たり前か.

しかしHP-16Cの内部表現は56ビットということを別として, 私には分かっていることもまだ分からないこともある.

整数から実数に演算を切り換えると, y*2^xなる値がxレジスタに入る. 反対に実数から整数に切り換えると, その時のxの値がy*2^xなるようにxとyが設定される.

たとえば円周率3.141592...は

(* 1686629713. (expt 2 -29)) => 3.1415926534682512

だから, 1686629713 ENTER 29 CHS FLOAT とすると窓に 3.141592 00 が現れる.

ここでまたDECにもどすと, xが-30, (normalizeされた)yが 3373259425 となり

(* 3373259425. (expt 2 -30)) => 3.1415926525369287

実数演算でなにかやってみよう. 円周率の連分数展開などが面白そうだ.

3.141592 これから 整数部の3を引く.
1.415926 -01 1/xをとる
7.062513 00 7を引く
6.251333 -02 1/xをとる
1.599658 01 15を引く
9.965869 -01 1/xをとる
1.003424 00 1を引く
3.424719 -03 1/xをとる
2.919947 02 ...

という次第で連分数は3,7,15,1,291,...

したがってπの近似値はまず3, 次は3+1/7=22/7, 次は3+1/(7+1/15) = 333/106, 次は有名な113/355. 捨てたのが1/292という項だから精度は抜群である.

さてこれをプログラムに書き直そう. 1/xはそういう命令があるから簡単だ. 問題は逆数をとったあと, 整数部を引くことである. この電卓にはfloorとかroundの命令は見当たらない.

いろいろ考えた末, 最初の例にあるように, yにある整数に, 2のxにある整数乗を掛けたのが実数だから, yにある整数をxにある整数の絶対値だけ右シフトすれば整数部が得られることが分った.

ということで書いた連分数展開のプログラムが以下のである.

001 43.22.C  LBL C
002 44.0     STO 0 ;0に格納しておく
003 24       DEC   ;整数計算に
004 44.32    STO I ;羃数をIに於く
005 33       R↓  ;yを取り出す
006 43.22.0  LBL 0 ;ループバック地点
007 42.b     SR    ;右1ビットシフト
008 43.24    ISZ   ;インデックス-1 結果0?
009 22.0     GTO 0
010 31       R/S   ;一旦停止
011 0        0     ;羃を0にして
012 42.45.48 float.;実数演算に
013 45.0     RCL 0 ;元の数を取り出し
014 34       x<>y  ;x,yを交換して
015 30       -     ;引く
016 43.26    1/x   ;逆数をとる
017 22.C     GTO C ;次の桁の計算に戻る

FLOATにしてからレジスタに3.141592....を入力し, GSB Cとするとしばらくrunningした後3が現れて停止する. 値を読み取り, R/Sを押すとまた走りだす. 後は7, 1, 291と続く.

TAOCPの第2巻に連分数の例がある.

π=3+//7,15,1,292,1,1,1,2,....//
e=2+//1,2,1,1,4,1,1,6,...//
φ=1+//1,1,1,1,.....//

8/29=//3,1,1,1,2//
√8/29=//1,1,9,2,2,3,2,2,9,1,2,1,9...//
など

これらを計算してみると楽しいが, 始めの円周率の例で見たように, 292のところがそろそろ限界で, HP-16Cの桁数(56ビット)では破綻し始める.

HP-16Cのプログラム技法

私の個人用電卓で他の電卓に見当たらない便利な機能はユリウス日の計算である.

-4712年1月1日を0とした通日である. 例えば2015年3月2日は20150302と入力し, JDのキーを押すと2457084が得られる. これに1を足し7で割った剰余を計算すると1になり月曜であるのが分る.

これをHP-16Cのプログラムにしたいが, グレゴリオ改暦の前を使うことはまずないので(-4712年1月1日が0になるか確認するくらいだ), 今回はFixed Day Numberを計算することにした.

Fixed Day Number(RD, Rata Die)は改暦よりも前までグレゴリオ暦が使われていたとした, 1年1月1日 (月曜)を1にするものである. 2015年3月2日RDは735659である. ユリウス日より1721425日少ない.

Calendrical Calculationのアルゴリズムは次のようだ(同書ではCommon Lispを使う)

(defun fixed-from-gregorian(year month day)
(+ (* 365 (1- year))
   (quotient (1- year) 4)
   (- (quotient (1- year) 100))
   (quotient (1- year) 400)
   (quotient (- (* 367 month) 362) 12)
   (if (<= month 2) 0
    (if (gregorian-leap-year? year) -1 -2))
   day))

要するに年数に365を掛け, 閏年の調整をし, 月始めまでの日数を求め, 日付を足す. HP-16Cのプログラムはこうだ.

001 43.22.b  LBL B ;20150302 GSB B
002 44.00    STO 0 ;ymd -> 0
003 43.05.00 CF 0  ;flag 0 閏年
004 43.05.01 CF 1  ;flag 1 m<=2
005 04       4
006 00       0
007 00       0
008 44.04    STO 4 ;400->4
009 42.b     SR
010 42.b     SR
011 44.03    STO 3 ;100->3
012 42.09    RMD   ;ymd%100
013 44.02    STO 2 ;d -> 2
014 02       2     ;m<=2の比較用
015 45.00    RCL 0 ;ymd
016 45.03    RCL 3 ;100
017 10       /
018 44.00    STO 0 ;ym
019 45.03    RCL 3 ;100
020 42.09    RMD   ;ym%100
021 44.01    STO 1 ;m -> 1
022 43.01    x<=y
023 43.04.01 SF 1  ;m<=2ならF1をセット
024 45.00    RCL 0 ;ym
025 45.03    RCL 3 ;100
026 10       /
027 44.00    STO 0 ;y -> 0
028 45.03    RCL 3
029 42.09    RMD
030 43.40    x=0   ;y%100=0?
031 22.00    GTO 0
032 45.00    RCL 0 ;y
033 04       4     ;4
034 22.01    GTO 1
035 43.22.00 LBL 0
036 45.00    RCL 0 ;y
037 45.04    RCL 4 ;400
038 43.22.01 LBL 1
039 42.09    RMD
040 43.30    x=0
041 43.04.00 SF 0 ;y%(4or400)=0
042 03       3
043 06       6
044 07       7
045 44.05    STO 5 ;367 -> 5
046 05       5
047 30       -
048 44.06    STO 6 ;362 -> 6
049 03       3
050 40       +     ;365
051 45.00    RCL 0 ;y
052 01       1
053 30       -     ;-1
054 44.00    STO 0 ;y-1 -> 0
055 20       *     ;365*(y-1)
056 45.00    RCL 0
057 04       4
058 10       /
059 40       +     ;+(y-1)/4
060 45.00    RCL 0
061 45.03    RCL 3
062 10       /
063 30       -     ;-(y-1)/100
064 45.00    RCL 0
065 45.04    RCL 4
066 10       /
067 40       +     ;+(y-1)/400
068 45.01    RCL 1 
069 45.05    RCL 5
070 20       *     ;m*367
071 45.06    RCL 6
072 30       -     ;-362
073 01       1
074 02       2
075 10       /     ;/12
076 40       +
077 45.02    RCL 2
078 40       +     ; +day
079 43.06.01 F? 1
080 43.21    RTN   ;m<=2なら帰る
081 02       2     ;平年なら2
082 43.06.01 F? 0
083 42.b     SR    ;閏年なら1
084 30       -     ;引く
085 43.21    RTN   ;帰る

テストはクリティカルな日付で行う

20150228 => 735657
20150301 => 735658

20120229 => 734562
20120301 => 734563

20141231 => 735598
20150101 => 735599

00010101 => 1

RDは7での剰余がそのまま曜日になる(1年1月1日月曜を1にしたから.)

HP-16Cのプログラム技法

2月21日のブログで疑似素数発生のプログラムが出来たから, 次は素因数分解のプログラムを書こう. 私がSchemeの環境で使っているfactorizeはこういうものだ.

 (factorize 32) => (2 2 2 2 2)
 (factorize 12) => (3 2 2)
 (factorize 108) => (3 3 3 2 2)
 (factorize 97) => (97)

だから素数ならこのリストの長さが1になるわけで

 (define (prime? n)
  (= (length (factorize n)) 1))

 (map prime? (a2b 2 10)) => (#t #t #f #t #f #t #f #f)

だが, 問題はn=1の時だ.

 (factorize 1) => (1)

と1も素数に判定されてしまう. それはさておき...

個人用電卓Happy Hacking Calculatorでは, n>=2の素因数分解は, pをnの最小の因数としてn=p^c*q となるようなp, c, qをスタックに積むようにした. つまり

 n fact -> p, c, q
 2 fact -> 2, 1, 1
 4 fact -> 2, 2, 1
 6 fact -> 2, 1, 3
 8 fact -> 2, 3, 1
12 fact -> 2, 2, 3

のようになる. 計算が終了した時, 最小素因数pが見える. それが最初に入れた数nなら素数だった. そうでないなら, その最小素因数が何回あったかcがスタックのすぐ次で分かる. さらに次に最小素因数で割り切った残りqがあるから, 続けてその素因数分解を始める. だから, 108(=2 * 2 * 3 * 3 * 3)は

108 fact -> 2, 2, 27 popを2回
27 fact -> 3, 3, 1

で108=2²*3³ということが分るのである.

これが便利だったので, HP-16Cのプログラムでも同様なインターフェースとした.

Happy Hacking Calculatorの素因数分解のアルゴリズムをSchemeで示すと

(define (hhcfactorize n)
 (let ((fl 疑似素数差分リスト) (d 2) (c 0) (i 0))
  (define (floop)
   (define (gloop) (set! n (/ n d)) (set! c (+ c 1))
    (if (= (modulo n d) 0) (gloop)))
   (if (< (quotient n d) d) (list n 1 1)
    (if (= (modulo n d) 0) (begin (gloop) (list d c n))
     (begin (if (= n 485) (set! i 5))
       (set! d (+ d (list-ref fl i))) (set! i (+ i 1)) (floop)))))
(floop)))

のように書いたので, 今回はこれをHP-16C用に書き換える. 上のプログラムでは配列flが疑似素数表だが, それに前回のブログのものを使う.

001 43.22.A LBL A
002 44.0    STO 0 ;n->0
003 6       6     ;差分を設定
004 44.01   STO 1
005 44.03   STO 3
006 4       4
007 44.04   STO 4
008 44.06   STO 6
009 44.08   STO 8
010 2       2
011 44.05   STO 5
012 44.07   STO 7
013 44.09   STO 9
014 44.A    STO A
015 44.d    STO D ;2->d
016    1    1
017 44.b    STO B
018 43.35   CLx
019 44.c    STO C ;0->c
020 1       1
021 1       1
022 44.32   STO I ;11->i
023 43.22.0 LBL 0 ;ループバック地点
024 45.0    RCL 0 ;n
025 45.d    RCL D ;d
026 10      /
027 45.d    RCL D ;d in x n/d in y
028 43.01   x<=y ;d<=n/d?
029 22.01   GTO 1
030 45.b    RCL B ;商が除数より小さくなった
031 45.b    RCL B ;1,1,nを積んでもどる
032 45.00   RCL 0 ;n
033 43.21   RTN
034 43.22.1 LBL 1 ;n/d>=d
035 43.06.4 F? 4  ;剰余!=0フラッグ
036 22.03   GTO 3
037 43.22.2 LBL 2 ;divisible
038 45.00   RCL 0
039 45.d    RCL D
040 10      /
041 44.00   STO 0 ;n/d->n
042 45.c    RCL C
043 1       1
044 40      +
045 44.c    STO C ;c+1->c
046 45.0    RCL 0 ;n
047 45.d    RCL D ;d
048 42.09   RMD ;remainder
049 43.40   x=0
050 22.02   GTO 2
051 45.00   RCL 0 ;n
052 45.c    RCL C ;c
053 45.d    RCL D ;d
054 43.21   RTN
055 43.22.3 LBL 3 ;割り切れなかったので次の除数を作る
056 45.d    RCL D
057 45.31   RCL (I)
058 40      +
059 44.d    STO D
060 43.23   DSZ
061 22.0    GTO 0
062 8       8
063 44.32   STO I
064 22.00   GTO 0

017までは1からBのレジスタに差分を入れる. 2の時には最初の除数もDへ入れる(015). 019でカウンタCをクリアする. 022でIレジスタの初期値を11に設定. 023のLBL 0がループバックの場所.

n/d<dを調べ, 終わりなら030から1,1,nをスタックに積んでRTN.

035は026の除算で剰余が0でない, 割り切れなかった時はフラッグ4が立っているから, F? 4で調べ, 立っていればLBL 3へ飛ぶ.

050までは同じ除数で割れるだけ割り(cも増やしつつ), 割れなくなったら051からn, c, dをスタックに積んでRTN.

そこから下は前回の手法による除数の更新である.

このプログラムが消費したメモリーをしらべると, プログラムは64バイトだが, 7の倍数ずつ領域を確保するから, 70バイト使う. レジスタは0からDまで32ビット= 4バイトを14個つかったら56バイト, 合わせて126バイトだったから, 全体で203バイトのメモリーの62パーセントも消費した.

このプログラムをHP-16Cの実機で実行すると, 不思議なことに分解する数の大きさにあまり関係なく30秒ちょっと程度で計算できる. DM-16はさすがに現代の電卓だけあって, 2,3秒で計算する. ただ誰もがいうようにこの電卓のキーの押し心地は最低だ.

前回紹介したシミュレータは大きい数はかなりの時間がかかり, 実用にならぬ. しかし除数が徐々に増えていくのが窓に見えるので待つのも苦にならない.

やはり私の作った個人用電卓の組込み機能が最高だなぁ.

HP-16Cのプログラム技法

1980年代にHewlett Packardが出荷していたHP-16Cという電卓の名器があった. 下のような面構えである.



私は30有余年愛用していて, 今も毎日持ち歩いているが, 十進法の計算はiPhoneを使うことが多くなった. HP-16Cの最大の特徴はRPN, すなわちReverse Polish Notationで, (1+2)*(3+4)を1,2+3,4+*の順に入力する. これは大変理にかなっていて, 私が以前実装したHappy Hacking Calculatorも勿論そうなっている. ただHP-16Cはスタックが4段で, 手前から(HPのマニュアルでは下から)x,y,z,tしかない. つまり上の例ではまず1がxに入り, カンマで示したENTERキーでその1がyへ移動. 2がxに入り, +で和の3がxに出来る. 3を入力すると, 和の3がyへ移動. xが新入力の3になり, ENTERでyの3がzに移動, xの3がyに移動, 4の入力でxに4が入り, +でxが7. yが3になり, *でxに21が出来る.

もう1つの特徴が, 数値の表示が二進, 八進, 十進, 十六進に切り替わることだ. 内部表現はいうまでもなく二進である.

iPhoneで真似が出来ないのがHP-16Cのプログラム機能だ. 現今の標準から見れば計算速度も相当遲いし記憶容量も小さいので大したことは出来ないが, こういうプログラムもあるということは, ソフトウェア歴史上無視できない.

今回のブログでは, HP-16Cのプログラムのスタイルを話したい.

HP-16Cには203バイトのメモリーが塔載されている. 0番地の方からデータの記憶場所, 反対側からプログラムの記憶場所として使う. プログラムの方は1ステップが1バイトだが, データの方は1ビットから64ビットまで長さが任意で, プログラムに取られた場所以外を様々なサイズでデータ用の番地を取っていく. これをレジスタという. 私には計算に使うx, yなどがレジスタという気分なのだが, そちらはスタックというのだろう. この可変長のレジスタがどういう実装なのか私には分らない.

HP-16CのプログラミングはKeystroke Programmingといって, 通常手で計算するキーの押し方の順を記憶するもでのある. この他にラベルを置くこと, ラベルへジャンプすること, 条件判断で1ステップ飛ばすことなどが出来る.

またIで表記するインデックスレジスタが1個ある. (I)と表記するとIの内容という意味である.

以下で扱うHP-16Cのプログラムは, 素因数分解のプログラムで使う予定の疑似素数発生噐である. つまり2,3,5,7,11,13,...を次々を作るのだが, 素数だけを作るには大量に記憶するか, 毎回素数性を検査するとか, 実用にならないので, 途中から先は, たまに合成数があっても苦しうないというものだ.

2,3,5で割れない数は30個で循環して現れる. 0から29までの数を書き, 2,3,5で割れるものは1, 割れないものは0として, 縦に0が揃うものを*で表わし, その間隔を 調べると以下のようになる.

2 101010101010101010101010101010
3 100100100100100100100100100100
5 100001000010000100001000010000
&  *     *   * *   * *   *     *
   2     6   4 2   4 2   4     6

また, 始めの方の素数の間隔は

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,
 1 2 2 4  2  4  2  4  6  2  6  4  2

だから, 2に1,2,2と足して3,5,7が得られた後は, 上の循環数列の最初の4からを順に足す. こうするとそのうち49が現れるが驚かない.

ではプログラムに移ろう. 循環の最後を調べるのを容易にするには, インデックスレジスタIを使う. 1足したり引いたりした結果が0になると, 次のステップを 飛ばす機能があるから, レジスタには次のように逆順に差分を入れておく. インデックスは最初11に設定し, DSZ(decrement skip if zero)で1ずつ減らし, 0になったら8に再設定する.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
   6, 2, 6, 4, 2, 4, 2, 4, 2,  2,  1

プログラムは不思議なことに001番地から始まる.

001 43.22.00 LBL 0
002 43.34    PSE
003 54.31    RCL (I)
004 40       +
005 43.23    DSZ
006 22.00    GTO 0
007 34       x<>y
008 44.32    STO I
009 34       x<>y
010 22.00    GTO 0

001行目はLBL 0(ラベル 0)だ. つまりここに0のラベルをつける. 002行目はPSE(pause)で一旦小休止してxの内容をしめす. すぐに走りだすから, 目を凝らす必要がある. 003行目 RCL(I) インデックスレジスタの内容をxにもってくる, xにあった疑似素数はyに送られている. 004行目 +. これで前の疑似素数に差分を足す. 結果はxに出来ている. 005行目 DSZ. インデックスレジスタから1を引き, 結果が0なら007行目へ飛ぶ. 006行目GTO 0. ラベル0へジャンプ. 007行目. xに出来ている疑似素数とyにある数を交換する. 008行目 STO I. xの値をインデックスレジスタへ入れる. 009行目. x<->y. 010行目GTO 0. 0へ飛ぶ. という風に走る.

従って,
11をインデックスレジスタに入れる.
8をxに入れる. ENTERしてyに送る.
最初の疑似素数2をxにいれる.
GTO 0でスタートへ.
R/Sで起動する.

HP-16Cが手元に無ければシミュレータが使える. 例えばここにある.

これらのキーにポインタを合せてクリックすると入力できる. たとえば最初の例. 1,2+3,4+*だが, 1を押し, 中央のENTERを押し, 2を押し, +を押し, 3を押し, ENTERを押し, +, *を押す.

HEXを押せば15に, OCTを押せば25に, BINを押せば10101に表示が変る. その時の基数を窓の右端にh,d,o,bで表示する.

各キーには上にオレンジ色, 下に青色で機能が示されている. その方を使うには, その前に左下のfかgを押しておく.

というわけで疑似素数発生プログラムをやってみよう.

まず差分を入れる. レジスタの長さは8ビットでよさそうだからDECとしてから8を押しfを押し, オレンジ色のWSIZEを押す.

HP-16Cではキーの位置を2桁(行と列)の十進数で表わす. 行番号は上から1,2,3,4. 列番号は左から1,2,3,...,9,0である. fの位置は42, WSIZEの位置は44だ. (2行にわたるENTERは36)

レジスタ1に6を入れるには6を押してxに置き, STO 1と押す. こうしてレジスタ9に2まで入れたら, 次に2と1を10と11に入れるためにHEXにする. 2 STO A 1 STO Bで差分の入力は終わる

プログラムを入力するには, gと31のキー, P/Rを押す. そうすると窓に000が表示される. いかにも000に入りそうだが, 表示の次の位置の入るので要注意だ. プログラム入力モードになっているので, 窓にPRGMの表示がある.

LBL 0をいれる. 窓には 001 43.22.00 と出る. 001番地にキー位置43 (つまりg), 22 (つまりLBL), 00 (これはキー位置ではなく0)が格納されたことが分かる.

このようにして上のプログラムリストの右端の部分を次々と入力する. それが済んだら, 入力モードのままで, GTO . 001と入力すると001番地の命令をみることができる. 以下続く番地の内容を見るにはSSTを押す. こうしてプログラムを確認できる.

プログラムを走らせるには, P/Rを押して入力モードから抜ける. つまり計算モードにする. DECであるのを確認し, 11 STO I としてインデックスレジスタを11に初期設定する. 次に8をENTERし, 2をxに入れて, GTO 0としR/Sを押すとプログラムが走りだす.

各々方はうまく走らせることが出来たであろうか. 私の場合, HP-16Cの実機ではうまく行くが, 件のシミュレータでは, R/Sで停止しない. ONを押して電源を切ると止まってくれた.

HP-16Cのプログラムはかようなものである.