その遺産の中に, 九元連立方程式求解機というものがある. 要するに連立方程式を解くアナログ計算機である. アナログ計算機と聞くと, なとなく眉に唾をつけたくなるのが, 現代の計算機屋の人情だが, なかなか面白い面もある.
その1つの課題が, 精度の高め方だ. われわれはアナコンと聞くや, 精度は悪いと思い勝ちである. まずこの機械の目盛リは, マイクロメーターで設定し, 滑車にはボールベアリングを使うという気の使いようではあるが, それでも程度は知れていると思う.
この計算機の使い方を読むと, 逐次的に機械を使うことで, 精度を高めていくと書いてあったので, その理由を考えてみた.
2元連立方程式
a00x + a01y = c0
a10x + a11y = c1 (0)
を解きたいとする. そして上のアナコンで, x',y'が得られたとする. その時
a00x' + a01y' = c0'
a10x' + a11y' = c1' (1)
と書くと, x'=x, y'=y (つまり正確な値が得られた) なら c0'=c0, c1'=c1 である.
違うなら, (0)-(1)
a00(x-x') + a01(y-y') = c0 - c0'
a10(x-x') + a11(y-y') = c1 - c1' (2)
を作る.
右辺の定数を c0 - c0', c1 - c1'として, もう一度この連立方程式を解くと, 前のx'、y'の代りに, x-x', y-y'が得られる. これをそれぞれ前に得られた値, x', y'に加えると, x, y が得られるということで, これを繰り返すらしい.
手元に計算機があるから, さっそくやってみることにする.
添字が面倒なので, ここでは
ax+by=c
dx+ey=f
と書くと
x=(ce-bf)/(ae-bd), y=(af-cd)/(ae-bd)
と解ける. これにわざと誤差を入れてみる.
Schemeのプログラムはこう書いた.
(define (solv a b c d e f)
(let* ((det (- (* a e) (* b d))) ;分母の行列式
(x (* (/ (- (* c e) (* b f)) det) 1.1)) ;誤差を入れる
(y (* (/ (- (* a f) (* c d)) det) 0.9)) ;誤差を入れる
(c0 (+ (* a x) (* b y)))
(f0 (+ (* d x) (* e y))))
(list (list x y) a b (- c c0) d e (- f f0))))
c0とf0は上のc0'とc1'のこと.
結果は最初に新しいxとyのリスト. 続いて次に解くための引数をリストにして出す.
x=2, y=3と決め. a00=2, a01=1, a10=1, a11=2とすると,
c0=a00x+a01y=2*2+1*3=7
c1=a10x+a11y=1*2+2*3=8
だから
2x+y=7
x+2y=8
を解くことになる
(solv 2 1 7 1 2 8)=>
((2.2 2.7) 2 1 -.1 1 2 .4)
最初の近似解は x=2.2, y=2.7である. また
c0'-c0=-.1,
c1'-c1=.4.
以後次のように進行する.
(solv 2 1 -.1 1 2 .4)=>
((-.22 .27) 2 1 .07 1 2 .08)
(+ 2.2 -.22)=>1.98
(+ 2.7 .27)=>2.97
(solv 2 1 .07 1 2 .08)=>
((2.2e-2 2.7e-2) 2 1 -1.e-3 1 2 4.e-3)
(+ 1.98 2.2e-2)=>2.002
(+ 2.97 2.7e-2)=>2.997
(solv 2 1 -1.e-3 1 2 4.e-3)=>
((-2.2e-3 2.7e-3) 2 1 7.e-4 1 2 8.e-4)
(+ 2.002 -2.2e-3)=>1.9998
(+ 2.997 2.7e-3)=>2.9997
(solv 2 1 7.e-4 1 2 8.e-4)=>
((2.2e-4 2.7e-4) 2 1 -1.e-5 1 2 4.e-5)
(+ 1.9998 2.2e-4)=>2.00002
(+ 2.9997 2.7e-4)=>2.99997
従って
xは2.2 1.98 2.002 1.9998 2.00002
yは2.7 2.97 2.997 2.9997 2.99997
のように2と3に近づく.
我々は計算機パワーを大活用して, 一気に計算しようとするが, アナコンのような低精度の計算機を使っても, 工夫次第では有効な計算が出来ると改めて思う.
