八進法算盤

以前このブログに八進法算盤のことを書いた(2008年9月14日). 今回もその話題だ.

前回のブログを書いたころ, 八進法の算盤は私のが最初だろうと思っていた. しかし, 東京理科大学の近代科学資料館で蒐集した算盤群を眺めて目をこする.



手前にあるのは下が3珠の算盤ではないか! これは八進法用なのか. 説明がないから目的は皆目不明である. この算盤の奥には, なんやら二進法の算盤らしいものさえある. 故事来歴を知りたいところである.

ところで...
子供のころ, 学校で算盤を習った. もちろん十進法の算盤である. すこし使い方を覚えると, 1+2+...+10とかやってみたくなる. 答が10までなら55, 100までなら5050なのは, 周知のとうり.

自作の八進法の算盤でも, 1から八進法の10まで足してみると, 上の(天の)珠が並び, 44になって驚く. 同じパターンだ. これは偶然であろうか. たしかに1+2+...+8=36. これは4*8+4だから44なわけだ.

Gaussが子供のころ, 1+2+...+100を計算するのに, (1+100)+(2+99)+...とやった逸話は有名である.

その伝でいくと, 十進法で1から10まで足すのは, まず10を除外し, 1+9, 2+8,...を作るとそれらも10で, 4通り出来る. 5は継子になる. 合計55の1の桁の5は, その継子の5である. 4通りの10と, 最初に除外した10と合わせると10も5組になり, 55になる. この推論はこのまま八進法に適応出来る. なーんだという気分. 八進法の100までの和も4040だ.

もっと一般的にやろう. 2n進法で1から2nまで足すと, 2n(2n+1)/2=n(2n+1)だから, 2nの桁も1の桁もnになるのだね.

Gaussは子供のころ家が貧しかったせいか, こういう神童的な話が伝わる. Gaussが自分で復活祭の日取りを計算する式を考え出したのは, 母親がGaussの誕生日もろくに覚えていないような人だったかららしい.

Gaussといえば, 高木先生の解析概論に, 「Wolframの表には1000以下の素数の自然対数の50桁の表が掲げられてゐる. この表は既に少年がうすが愛用したものである.」という脚注がある. どんな表なのか興味はある. そのWolframはMathematicaのWolfram Researchとは関係ないはずだが, おなじWolframなのも何かの因縁であろう.

さて, iPod touch用に私が開発した電卓は, 八進法, 十進法, 十六進法の各基数で計算が出来る. 基数を十進法に設定し, 10 Ent 11 * 2 /とすると55; 八進法, 十六進法で全く同じ入力をすると, 44と88になり, 当然とはいえ, 楽しい.

八進法算盤

下の図は, 私が1960年代の始め頃使っていた, 八進法の算盤である.



当時の計算機はIBM7040で, これはIBM704と同様のアーキテクチャゆえ, 命令語もデータも, 1語36ビットであった. 命令語はその36ビットを左からprefix(3ビット), decrement(15ビット), tag(3ビット), address(15ビット)の部分に分けた. このaddressとdecrementがLispでいうcarとcdrの語源になっているのは周知のとおり. (car=content of address part of register, cdr=content of decrement part of register) 各部分が3の倍数のビット数なので, 命令語の表示は八進法だったのである.

従って, コンソールの前で, 八進法の計算(加減算だけだが)をすること, しばしばであった.

その時考えたのは, 市販の算盤は十進法だが, 下の1の珠を1個外せば, 八進法の算盤として使えるということだ. 早速12桁の算盤を売っていないかと探したが, 市販の算盤はすべて奇数桁であり, 12桁のものはなかった. やむを得ず13桁の算盤を買い求め, 糸鋸などで縮めたのが, 上掲の算盤である.

通常は上が5の珠, 下が1の珠だが, 八進法算盤では, 上が4の珠となる. それ以外は十進法での計算と余り違わない.

この算盤は多いに実用的であった.

引き出しにまだ残っていたので, 実物の写真も載せておく.


八進法算盤

私が小学校で習ったときは, 下の1の珠は4個であったが, 私の母は1の珠が5個の算盤を使っていた. そのずーっと前は, (中国だけかも知れないが) 上の5の珠も2個あったらしい. 1の珠5個で十進法の計算をしていたことを考えると, なにも下の珠を外さなくても, 八進法で計算出来たわけだが, 実際にやってみると改造算盤には及ばない.

余談だが, 昔は病院にいくと, 4号室とか19号室とかはなかった. 4と9は「死」と「苦」を連想するので, 使わなかったのだ. 0,1,2,3,5,6,7,8の8個の数字を使うから, これも一種の八進法である. 私の算盤で, 上の珠を5と解釈すると, この八進法になる. 私はこの八進法を通常のと区別するため, 迷信法といったことがあるが, 東京女子大学の水谷先生がこの命名に興味を持たれたらしい.

最近のアーキテクチャは, 十六進法が多いので, 八進法算盤はお蔵入りになっている. 十六進法算盤はどういう構造にすべきか, 上下それぞれ3個というのもありかも知れないが, 操作出来るだろうか. 目もくらくらしてくる.



ところで, Hewlett PackardのHP16Cが市販されてから, 八進法, 十六進法の計算はもっぱらHP16Cを利用している.

HP16C