教養学部の学生の時, 最初の製図の課題が二次曲線を描くことであった. この時は曲線群ではなく, 1本の楕円と1本の双曲線だったと思う. 1本とはいえ, 烏口で墨入れして描くのだから大変であった.
楕円を描こうと思うと, 長軸 a と短軸 b を決める, つまり楕円の外側の寸法を押さえることから始めるのが普通であろう. 例えばa = 200, b = 150; アスペクト比4:3の楕円を描くことを考えてみる.
xを-200から適当な増分のステップで200まで増やし, xに対応するyを計算して次のx,yまで線を引く, でまぁ出来るわけだが, x=200, -200の辺りは勾配が大きく, xの増分を小さくしなければならなす, x=0の辺りは勾配は小さく, 増分は大きくしたい. 増分を途中で変えるくらいなら, x=200の辺りは, yを独立変数にした方が楽である.
切り替えはx^2/a^2=1/2, y^2/b^2=1/2の付近でやるのがよいかも知れぬ. かくして1象限分を描くPostScriptのプログラムは
/a 200 def /b 150 def /d 5 def %dは増分
/soly {1 dict begin /x exch def %xからyを解く
1 x x mul a a mul div sub sqrt b mul end} def
/solx {1 dict begin /y exch def %yからxを解く
1 y y mul b b mul div sub sqrt a mul end} def
/rd {d div round d mul} def %増分の倍数で丸める
/x1 {a a mul 2 div sqrt rd} def %切り替え点
/y1 {b b mul 2 div sqrt rd} def %切り替え点
/quadrant {0 b moveto %1象限分を描く
d d x1{/x exch def x x soly lineto} for
y1 d neg 0{/y exch def y solx y lineto} for
stroke} def
これを4回呼び出す.
quadrant 1 -1 scale %第1象限 x軸に対称にする
quadrant -1 1 scale %第4象限 y軸に対称にする
quadrant 1 -1 scale %第3象限 x軸に対称にする
quadrant -1 1 scale %第2象限 y軸に対称にする
そのようにした描いたのが上の図だ. 第1象限の赤い格子は, xを変数で描いた部分と, yを変数で描いた部分を示す. x=140, y=105 辺りで切り替わっている.
しかし, 媒介変数を使った楕円の表現の方が, 一気に書けて嬉しい. 0≤t<2πについて, (a*cos(t),b*sin(t)) の点を次々に結ぶ. 以下の共焦点の二次曲線は媒介変数法で描いてある.
さて, 共焦点の楕円を書くには, まずfを決め, 次に離心率eをパラメータとして決め, それらからaとbを求めることになる.
a=f/e, b=√(a^2-f^2)として, 媒介変数法で描画するわけだ.
双曲線は, やはり媒介変数による表現がある. 楕円は通常のcosとsinであったのに, それがcoshとsinhになる. つまりhyperbolic cosineとhyperbolic sineになるわけで, hyperbolic(双曲線の)という修飾があるのは, これで分かる.
さようなわけで,
sinh x=(e^x-e^(-x))/2,
cosh x=(e^x+e^(-x))/2
を定義しなければならない.
こうして描いた共焦点二次曲線の絵が上の図である. 楕円の方は, eを0.5から0.9まで0.05ステップで変え, 双曲線の方はeを1.1から1.5まで0.05ステップで変えて描いてみた. a=f/eは曲線がx軸と交差する点(中央からの距離)なので, 楕円では, 0.5が円に近い(焦点から遠い)方, 双曲線では, 1.1が放物線に近い(焦点に近い)方である.
