Heronの式

前回のブログ「四面体の体積」に名称だけ出てきたHeronの式というのがある. 三角形の3辺の長さをそれぞれa, b, cとし, (a+b+c)/2をSとすると, その三角形の 面積は√S(S-a)(S-b)(S-c)というのである.

たとえば, 辺の長さが3,4,5のPythagoras三角形ではS=6だから, 平方根号の中は 6×3×2×1=36で, 面積は6だ. 右の図, 1辺が2の正三角形では, S=3で, 根号内は3×1×1×1=3で, 面積は√3である.

Heronの式を覚えた時, これが正しいという証明を見たかどうかは分らない. 勿論, Sの次元は長さ, S-a,S-b,S-cも長さなので, 根号内の次元は長さの4乗; 開平すると 2乗になり, つまり面積だ. そういえば, 前回のブログにあった, 四面体の体積を6本の 辺の長さから求める式も体積の次元になっている. あたりまえだ.

でも定量的に合っているかを調べるのが今回の頭の体操である. 方針としては, 根号の あるのがウンシャンだから, 面積の二乗の値を考えることにする. 例題の三角形は こういう頂点名と辺名を持つ. 計算の途中で時々数値的にチェックするのにもこれを 使う. この三角形は∠Aが直角なので, 面積は√8×√18/2=6だ.

式を使わざるを得ないから, Texの出力のpdfにも助けてもらおう.

式(0)はHeronの式で, 2乗すると(1). Sを定義で戻し, 展開したのが式(2)である. この程度 の計算はWolframAlphaにやって貰う.

三角形ABCの各頂点の対辺をa,b,cとすると, その各々の2乗もpdfにある通り. これを 式(2)の分子に入れて展開するわけだが, これは中々面倒である. WolframAlphaも 時間がかかるとか文句をいうし, 我が家のRapsberry PiのMathematicaは今は ネットに繋っていないので, 使い勝手が悪い. 結局は多項式の乗算のプログラムを Schemeでちょこっと作り, それで展開した. 時々例題の値を入れて験算する.

そして展開した結果は項数21のpdfにある式である. これも目がくらくらするから, x_ix_jy_ky_lについて, ijと klの対の項の係数を表にしてみた. さらに例題の座標で験算すると576. 16で 割ると36だ. しめしめ.

さてこの式は本当に三角形の面積であろうか. 頂点の座標(x₀y₀), (x₁y₁),(x₂y₂)の三角形の 面積(頂点の回り方によってはその負数)の式は, 幸いにも私は高校生の頃から知っている. 次のpdfにある式だ. 行列式を計算式にしてその分子の2乗を展開すると, またもや項数21の多項式が得られた. 今回もその係数の表を作るとブラボー! 先の表の1/4の値である. という訳けで Heronの式は面積になるのであった.

だが待てよ. この行列式はなぜ正しいのか. こちらも気になったので, 計算してみた.

図の三角形の, 座標軸に平行な線での外接長方形を作る. それから長方形の辺と 三角形の辺で作る3個の三角形の面積を引く. そういう式を作ってみる.

WoflramAlpha様に

Expand[(x2-x1)(y0-y2)-(x0-x1)(y0-y1)/2-(x2-x1)(y1-y2)/2-(x2-x0)(y0-y2)/2]

と伺いを立てたら

(x0y1)/2-(x0y2)/2-(x1y0)/2+(x1y2)/2+(x2 y0)/2-(x2y1)/2

のお告げが出た. 整理すると

(x0y1+x1y2+x2y0-x0y2-x1y0-x2y1)/2

となり, 行列式の値と一致している. もう一度ブラボー! ちゃんとした証明でもないが, 私にとっては十分納得出来る頭の体操であった.

四面体の体積

筑波大の三谷さんのツィッターに四面体の体積を計算する話があった.

角封筒の上の辺の中央と下の辺の両端を結ぶ折目をつけ, それを山折りにすると, 合同な 二等辺三角形4枚による四面体が出来る. 元の封筒の横と縦が1と√2の時の 体積を計算せよという問題である. ちょっとやってみたところ, 存外簡単であった.

下の図で, 赤い線は元の封筒を展開したもの. 下の辺と上の辺は繋っている. この斜めの 線を谷折りにすると, ABCを底面, ACD'を手前の面, ABDを向うの面, 辺DEとD'E'は 繋っていて斜面だが上の面になる.

錐体の体積を計算するには, 底面積と高さが必要だが, 底面積は簡単だ. 辺BCが1, 辺OAは辺ABが√2だから, √7/2である.

高さについては, 三角形ABDは, 辺ABを折目として頂点Dが起き上がるから, Dに対応する 平面上の点はABと直交する破線で示す線に沿って下がり, AO上のGまで来ると下から上って来たD’と 出会って頂点になる. GAの距離はADの距離にtan αを掛けたものだが, tan αはOB/OAだしADは1だから, GA=1/√7である. よって 高さは√6/√7.

求める体積は (√7/2)*(√6)/((√7)*2*3)=1/2√6

三谷さんのツィッターにはヒントと称して, 四面体の6辺の長さからその体積を 求める式があった. 平面三角形のHeronの公式の三次元版である. そこにある式の 添字の付け方を, 私流に修正したのが次の図である.

このように添字を付けると, 四面体の体積Vの2乗は

の一番上の式で得られる. しかしこれも目がくらくらするので, 始めの3項と終りの4項を それぞれ6変数のtfと3変数のtgに分け, 2行目以下のように定義する. 最初のV²を計算する式を書いたLatexは次の様だ. 計算式と同様に分解してある.

\newcommand{\sq}[1]{l_#1^2}
\newcommand{\tf}[6]{\sq#1\sq#2(\sq#3+
\sq#4+\sq#5+\sq#6-\sq#1-\sq#2)}
\newcommand{\tg}[3]{-\sq#1\sq#2\sq#3}
$V^2=\frac{1}{144}[\tf012345+\tf234501\\
+\tf450123\tg025\tg034\tg124\tg135]$

これを使ってpythonで計算したのが次だ.

import math
def sq(x):
  return x*x
def tf(a,b,c,d,e,f):
  return sq(a)*sq(b)
    *(sq(c)+sq(d)+sq(e)+sq(f)-sq(a)-sq(b))
def tg(a,b,c):
  return -sq(a)*sq(b)*sq(c)
def v2(l0,l1,l2,l3,l4,l5):
  return (tf(l0,l1,l2,l3,l4,l5)+tf(l2,l3,l4,l5,l0,l1)
    +tf(l4,l5,l0,l1,l2,l3)
    +tg(l0,l2,l5)+tg(l0,l3,l4)+tg(l1,l2,l4)
    +tg(l1,l3,l5))/144
l0=1;l1=1;l2=math.sqrt(2);l3=math.sqrt(2)
l4=math.sqrt(2);l5=math.sqrt(2)
print(math.sqrt(v2(l0,l1,l2,l3,l4,l5)))

=> 0.20412414523193143

この値は確かに1/2√6 である.

ところで, 最初の封筒の四面体の体積は, 形状が特殊であったせいか, 簡単であった. 底面の3点の座標と, その各点から頂点までの距離が与えられている時にも体積は 得られるだろうか. 以下はその計算である. 式が沢山あるので, Latexでpdfに したもので示す. 底辺の3点, A, B, Cの座標をそれぞれ(x₀,y₀,0), (x₁,y₁,0),(x₂,y₂,0); 頂点Dの座標を(x,y,z)とする. A,B,Cから頂点までの距離をそれぞれ l₀,l₁,l₂とする.

今回もpythonで計算すると

x0=0;y0=-1/2;x1=math.sqrt(7)/2;y1=0;x2=0;y2=1/2
l0=math.sqrt(2);l1=1;l2=math.sqrt(2)
a0=2*(x0-x1); b0=2*(y0-y1)
c0=sq(l1)-sq(l0)+sq(x0)-sq(x1)+sq(y0)-sq(y1)
a1=2*(x1-x2); b1=2*(y1-y2)
c1=sq(l2)-sq(l1)+sq(x1)-sq(x2)+sq(y1)-sq(y2)

x=(c0*b1-c1*b0)/(a0*b1-a1*b0)
y=(a0*c1-a1*c0)/(a0*b1-a1*b0)

z=math.sqrt(sq(l0)-sq(x0-x)-sq(y0-y))
print(x,y,z)

#=> 0.9449111825230684 0.0 0.9258200997725514

期待通りの値が得られた. でもこんな実数の値より, 1/2√6 の方が嬉しい.