双曲線

円錐曲線の中で, もっとも馴染みがないのが双曲線である. したがってda Vinciも双曲線コンパスは考えなかったかも知れない.

反比例 y=1/xを習うと, この形は双曲線と教わる. 確かにx軸とy軸は漸近線だし, 第1象限と同じ図形が第3象限にもある.

xy=1を x'=√2 x-√2 y, y'=√2 7+√2で置き換える. つまり45度回転すると, 確かにx²/2-y²/2=1となり, 双曲線である.

ところで, 双曲線というと, 以前から気になる文言がある. 高橋秀俊先生の「数理と現象」に

「楕円は丸い茶碗やお盆を横から見たときの形として, 万人の日常接しているところであるが, 放物線と双曲線はそれほど親しみがあるとはいえないかもしれない. しかし, 円錐曲線はすべて円錐の切り口, つまり円形をある方向から見たときの形であって, 誰でも目にふれるはずのものである. すなわち大きい円を近くから見て, 円の一部が眼よりも後に来るような場合は, 円は双曲線(の片側)に見え, ちょうど眼の平面(眼のところを通って視線に垂直な平面)に接する場合は放物線に見えるのである.」

と書いてある. 確かに付随する写真では放物線や双曲線のように見える. これはどういうことか, ずーっと疑問に思っていた.

私は自他ともに認めるPostScript描画大好き人間なので, さっそく図を実際に書いてみることにした.




すなわち, 円Oの中央の真上の点Hから, 水平に置いた円Oを, その円周上で接している面Pに投影し, 得られる(赤線の)図形を描いてみたのである. 特殊な環境だが, 計算式を簡単にしたかったからである.

たしかにHの真横の円の部分は右下, 左下の遠方に投影されるから, 双曲線になりそうである. そして出来た図が下である.






視点HをOの真上にとったのは, 怪我の功名であって, 実はHを頂点とする円錐を平面Pで切ったので, 断面が双曲線なのは当たり前である. 高橋先生がいわれるのは, 円内のもっと一般的なところで見ても双曲線ということで, それには別の視点が必要そうだ.

楕円コンパス(つづき)

Leonardo da Vinciは放物線のためのコンパスも考案した. この方はたまたまウェブに図があった(http://www.japandesign.ne.jp/HTM/REPORT/art_review/38/big/05.html)ので, 借用させていただく.



前回のブログの最後に書いたように, 離心率が大きい(=1に近い)と楕円コンパスは苦しくなる. 放物線は離心率が1なので, 発想の転換が必要だ. そこでda Vinciは別の機構を考えたのであろう.

こちも原理は楕円の場合と同じである. 円錐を母線と平行な面で切ると放物線になる性質を利用している. 前回の図で, 切断面が母線と平行になると, 上の球は作図出来るが, 下の球は存在しない. つまり焦点は1つになる.



放物線コンパスの仕掛けを上の図で説明しよう.

ACは鉛直な回転軸である. Cを頂点とし, 底面が円DQEFの円錐を考える. 回転軸を支えるのに, CD, CE, CFの3本がある. 3本の足は, 別に母線に合っている必要はないが, da Vinciの図がなんとなくそうなっているのに従った.

P点に筆記具をつけた伸縮自在の腕 BPは, 母線に沿って回転し, PはDからスタートしてPへ至り, さらにEまで進む. すると放物線DPEが描けるのである.

円錐の角度を一定に保つために, GHがある. 模型で見るように, 放物線を描く面は, 母線と平行に傾けてある. その面の上をPが伸縮しながら放物線を描くのである. 筆記具を平面に押し付けるためか, CPの中間に錘りがぶら下がっているのも面白い.

楕円コンパス

この世には円(お金ではない)も多いが, 楕円はもっと多いに違いない. 丸いものも正面以外の方向から見ればみな楕円に見える. そもそもが, 惑星の軌道から楕円である. また円は楕円の特殊な場合に過ぎぬ.

正弦や余弦の曲線も正確に手書き出来る人はまずいないが, 楕円や放物線も正確には書きにくい曲線である. 最近楕円型の炬燵があると聞いたが, 見ると陸上競技のトラックの形(小判形)であった. 世の常識はそれも楕円だ.

小学生の頃習った楕円の書き方は, 2本のピンと糸を使うものであった. 実際にやってみると, 鉛筆の芯から糸が外れたりで, 結構苦心する. 与えられた長径2a, 短径2bの楕円を描こうとすると, まずピンの間隔を2√(a²-b²), 糸の輪の長さを2(a+√(a²-b²))にしなければならず, 糸の輪の長さをこのように正確にするのは, 極めて難しい.

従って, 製図では, 楕円上の点を適当にとり, 雲形定規でつなげて描いたりする.

最近はPostScriptさまさまで, 縦横のスケールを変えて円を描けば簡単に出来るようになった. しかし線の太さも影響を受けるのが問題である. 長径a, 短径bの楕円は,

a 0 moveto
1 1 360 {dup cos a mul exch sin b mul lineto} for stroke

で描くのがよい. Processingはellipse関数の方が基本で, 円はその特殊なケースとする. この方が正しいやり方である.

しかし, やはりコンパスで円を描くような, 名案はないであろうか.

Archimedesの楕円コンパスというものがある. 我が家にはそのおもちゃがある.



おもちゃとしては, これは何の軌跡かというクイズなのだが. ...

Archimedesの楕円コンパス下の図のようなものだ.



長さaの棒の一端Pに筆記具, 他端と, 筆記具からbの距離に, それぞれ短軸, 長軸に沿って動くスライダN, Mをつけ, その棒を回転すると, 長径2a, 短径2bの楕円が描ける. この動画はここにある.

∠PMQをθ. Pの座標をx, yとする. x=a cos (θ), y=a sin (θ) - (a - b) sin (θ) = b sin (θ)で, Pの軌跡は, 長径2a, 短径2bの楕円になる.

2007年に東京国立博物館で,「レオナルド・ダ・ヴィンチ--天才の実像」という特別展があった. 殆んどの入場者には, 「受胎告知」が関心の的であったろう.

私の場合は, 「レオナルドの書斎」が面白く, 中でもアトランティコ手稿に基づく楕円作図のためのコンパス[複製]に目がとまった.



上の図のようなものである. 通常のコンパス同様, 回転軸ABがあり, Aを固定し, Bをつまんで回す. 通常のコンパスとは異なり, 軸は傾斜している. その傾斜角を維持するために, 支柱CDとCEがある.

軸上の点Qから腕QPが分かれており, Pに筆記具を着ける. AQPの角 θ が一定になるようにして, 軸を回すと, Pが楕円を描くという仕掛けである. ただし, PQは, 軸が傾斜しているから, 通常のコンパスと違い, 伸縮できなければならない.

このコンパスに味噌は, θを一定にして軸を回転すると, QPを母線として円錐が描け, それを平面で切っているのである.

なるほど, 円錐を斜めに切ると楕円が出来ることの応用と思い, さっそくアニメーションのプログラムを書いた.

これは面白かったので, 2007年のlightweight languages spiritで話をした.

円錐を斜めに切ると, 卵形ではなく, 楕円になるというのも, 直ぐには信じ難い.


上のような図を描くといちおう納得する. 円錐を右上から左下へ平面で切った断面である. 円錐と切った平面に上から内接する球を O , 下から内接する球を O'とする. O と円錐の接円, O'と円錐の接円は赤い横線のようになる. また, O , O' と切った平面の接点をそれぞれ F, F' とする.

さて, 任意の母線ABを考える. この母線と Oの接円, 切った平面, O'の接円との交点を, T, P, T'とする. 球面外の点から, 球面へ引いた接線の, 接点までの距離は等しいから, PT=PFであり, PT'=PF'である. 従って, FP+F'P=PT+PT'=TT'=一定となって, Pは楕円となる.

ところで, da Vinciのコンパスの最大の問題は, 伸縮する腕のことだ. 長い時と短い時の長さの比が大きい腕は作るのが困難である. つまり離心率の大きい楕円は描けない. 私の図でも, 比を2:1にとるのがやっとであった. 要するにこのコンパスは話だけで, 実用には遠いのだ.

Maxwellの面積計

またまた面積計の話で恐縮だ.

RutherfordJournalには, こういう図



も出ている. 前回(10月15日)のブログにあった図と, 似ているがいささか異なる. これもMaxwellのもう1つの面積計なのだ. その理由はご賢察の通りであるが, 老婆心ながら説明しよう.

前回の図では, 水平軸ABを持つ半球が, 車輪Hの回転と共に回転した. また伸縮棒MSにより, 全球と半球を結ぶ直線と水平軸のなす角が変化した.

今回は, 垂直な回転軸に半球がついており, 図形の周囲を追跡する針の, 回転軸の円周方向の移動に応じて, 半球と全球の仕掛けも回転する. また, 針の, 半径方向の移動は, 前回の図のOMの移動同様に, 回転軸と, 半球と全球を結ぶ直線のなす角を変える.

そうと分かると, 前回は車輪の回転がdxで, 半球と全球の角度がyであったように, 円周方向がdθ, 半径方向がrの極座標で, r dθの極座標での積分をすることになる.

前回のMSは伸縮出来る棒であった. 今回も針の先と, 半球の中心と, 全球の中心が1直線になるような, 伸縮棒でもよいわけだが, 今回は曲線部分を持つ部品が回転し, バネにより, それに接触している半球と全球を結ぶ棒の延長が針先になるように工夫したカム機構になっているのである.

Maxwellは理論的な面にしか関心がなかったらしく, ものは作らず, こういうメカを考えて楽しんでいたらしい.

Maxwellの面積計

面積計の歴史をウェブで探すといろいろ見つかる. それを読むと, 円錐(cone)がどうのこうのと書いてあったりする. 面積計の基本知識として, このブログでは円錐の機能を説明しよう.



この図は, Johannes Oppikoferの面積計といわれるものである. Maxwellのと違い, 台枠は固定されていて, 手前にある針を前後に動かすと, その支持腕が伸び縮みし, また腕を左右に動かすと, 支持腕とその右にごちゃごちゃ見える機構が一緒に左右に動く.

ごちゃごちゃの機構の中央に横倒しになった円錐が見える. 円錐は, 機構が左右に動くと, その幅に従った角度だけ水平の軸の周りに回転する. また円錐の上方に, 立っている文字盤があり, その下に小さい円板があって, 円錐に接している. この円板から上は, 支持棒の前後の動きと連動しており, 針が奥に行くほど円板は円錐の頂点に近いところで円錐に接するようになる.

つまり, 針が左右に dx 動くとき, 円板, つまり文字盤の回転する量 dφ は, 針の奥からの距離 y に dx を掛けたものに比例するわけである.



というわけで, 面積計になるのだが, 針を前後に動かす時, 円板が円錐面を横車を押すように動くのが, Maxwellたちの気に入らなかったようである. たしかに, Maxwellの半球と全球の機構はそうなっていない.

また, 円錐の母線が奥の方では低くなるので, 円板や文字盤の高さを変えることも考えなければならない.

Oppikoferの面積計は, 1827年に考案され, 1836年にパリで制作, 販売されたそうだ.

マッチ棒の立方体

すいぶん前のことだが, 数学セミナーにSystem-5というコラムがあった. 東大の高橋秀俊先生, 森口繁一先生, 学習院大学, のちに東大情報科学科の米田信夫先生, 立教大学の島内剛一先生と私が, 持ち回りでなにか書いていた.

今回のブログは, 私が以前そこに書いたものだ.

オランダ Delft大学のvan der Poel先生が大宮の拙宅に来られた時, おみやげといって, 下の写真のようなマッチ棒で出来た箱を下さった. van der Poel先生によると, デンマークのPeter Naur先生(Backus Naur FormのNaurさん)の問題 「接着剤を使わずマッチ棒だけで立方体を作れ」を考えた結果作ったものだそうだ.

van der Poel先生に頂いたものは, 遠の昔にどこかへいってしまった. この写真のは, 私がこの週末に作ったものである.



マッチ棒を90本も使っているから, ちらちらするが, 三面図を書いてみると, このようになる. 第3角法になっていて, 右下が正面図, 左が側面図, 上が平面図である. マッチの軸に色が着いていて, 薬の部分が白くなっている.




原理的には, 下の図のように, 3対のカードを組合わせ, 対同士を輪ゴムで止めると立体が出来るのと同様である.



実際に作ってみると, この写真のようになる.



ただ, 輪ゴムは, 接着剤ではないが, 違反であって, 輪ゴムの代りにマッチ棒を使えばいいのである. (上の図の左下.) この図ではマッチ棒は抜けてしまいそうだ. しかし, 別の面の力で絞められると, 抜けなくなるのである.

というわけで, 下の図のように, 1,2,3,...,21の順で, マッチ棒を組み立てると, この立方体が完成する. この図では, 薬の方に色がついている. 20と21では, 上に薬が来る時に色がついている.





この図と三面図の正面図の対応は, こうだ. 1は正面図の底の緑の横向きのマッチ. 2は下から2段目の青の奥向きのマッチ. 3から17は, 赤の横向き, 奥向きのマッチ, 18は上から2段目の青の奥向きのマッチ. 19は蓋の緑の横向きのマッチ. 20と21は平面図の奥向きのマッチである.

しかし, 実際やってみると, 賽の河原よろしく, 出来上がる前に崩れてしまう. まぁ, 完成するには, よく考え, ちょっとしたノウハウを利用する必要がある. それは ひ み つ.

Maxwellの面積計

Maxwellといえば電磁気学で習う4つの式や悪魔(demon)を思い出す. 昔の学者はなんでも屋で, そのMaxwellは面積計も, しかも2種類も, 発明したことを最近知った.

Internetで探すと, The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwellにあるこういう図


や, RutherfordJournalにあるこういう図



が見つかる.

今回は, この面積計の説明である.

下の図を見て欲しい.


これは面積計を上から見たところである. 水平に置かれた回転軸ABがあり, 右方に車輪Hがある. 左方には, 半球KCBがあり, Bが極に対応する. 手前の方, VXに沿って動くMと, 半球の中心Sを通る鉛直軸を結ぶ, 伸縮する棒MSがある. MSから直角に出た枠SDがあり, EFを回転軸とする全球ECB'Fが半球にCで接している. MがOの位置にあると, SDはASと重なり, 全球の赤道DB'が半球の極Bに接し, MがOから左へ行くにつれ, 全球はSを中心に上にあがるが, 球面同士は滑らないものとする. 従って, ∠OSMをθとすると, ∠BSC, ∠B'DCもθである.

面積を計測する時は, 面積計を平行に手前に引いたり, 遠方に押したりしながら, Mが図形の周囲を辿るようにする. RutherfordJournalの図の破線や, 台車の右下の車輪から推察出来る通りである. 面積計の押し引きに応じ, 車輪Hが紙との摩擦で回転し, 同軸の半球も回転し, それに接する全球も回転する.

OMの距離をy, OSの距離をh, 車輪Hの半径をR, 半球, 全球の半径をr とし, 面積計をdxだけ奥に押した時の全球の回転角dψを計算してみる. xの正方向は, Hと半球の向こうへの回転, 全球の手前への回転とする. Hの回転角(radian)は dφ=dx/R. するとC点で半球の緯線が鉛直方向に動く距離は, rsinθdφ. 全球のCでの緯線の半径はr cosθ. 全球の緯線も鉛直方向に同じ長さ動くから, 従って回転角dψ=r sinθdφ/r cosθ=dφtan θ. ところで, tanθ=y/h. ∴dψ=dφy/h=(dx y)/hR.

この面積計で円の面積を計ってみる. R=1, h=2, 円の半径=1とする.



最初, Mを計測対象の赤線の円の真下に置く. この時の半球と全球の中央の経線を赤で示す. 以後の図で,この経線の移動が分かる.



円周の1/4のところまでMが移動した. 面積計も奥へ移動し, 車輪Hが回転し, 半球の目印の経線も1radianだけ回った. ここまででスキャンした面積をオレンジ色で示す. それに相当した角度だけ, 全球も回転した.



Mは円の真上まで来た. 面積計はさらに奥まで移動した. 半球も全球も回転を続ける. 半球の回転角は2 radian. 半球の下側に入ったので, 破線で示す.



円周の右を辿って下がり, 3/4来たところ. 車輪も半球も先ほどとは逆に回転し, 面積を記録している全球も逆回転した.



Mは円周を一周した. 半球の経線は元に戻り, 全球の経線は, 面積πの半分を円周に一致して示す.

Maxwellはこの面積計を作成したわけではない. 実際に作るのは難しそうである.