多面体描画道楽

PostScriptのすごいのは, 座標の拡大縮小, 移動, 回転などをやってくれることである. 別のいい方ではaffine変換をしてくれる. 例えば下の図で, 左上は縦横等間隔に平行線を引いたものである. 右上はひしゃげた形になっているが, 等間隔の平行線に違いはない.

PostScript的な表記では, 左の図のp(x,y)は右ではp'(x',y')に移動していて,
x'=ax+cy+tx
y'=bx+dy+ty
となっていて, 今の場合, パラメータはそれぞれ
a=1.2, b=0.5, c=0.3, d=0.8, tx=ty=0
である. (tx=0だから, 2つの図は重なる筈だが, 見えにくいのでずらしてある.)

左下の正五角形を同じように変換したのが, 右下のである. こういう変換は文字フォントについても出来て, 少し前までの国土地理院の地形図は, 山の名は右肩あがりの文字, 川や湖, 海の名は上端を左にずらした文字(イタリックと逆)で表示してあった. 次の箱根山と芦ノ湖がその例だ.

さて, 改めて考えてみると, 正十二面体の各面の投影された五角形は, 真正面から見た(つまり通常の)正五角形を適当にaffine変換したものであった. だから各面の変換パラメータ, a, b, c, d, tx, tyが決れば, その環境で単に正五角形を書けばよい筈である.

x方向についてa, c, tx, y方向についてb, d, tyを決めたいから, 直線上にはない3つの点があればよい. 前回のA面について考えれば, 頂点0, 2, 4の真正面から見たx, y座標(3次元でいえばy, z座標)
0=(-l0, 0), 2=(0,l2), 4=(l0,0)
であったから, これがそれぞれ(x0,y0), (x2,y2), (x4,y4)に移動したとすると,
x0=a.(-l0)+c.0+tx, x2=a.0+c.l2+tx, x4=a.l0+c.0+tx
y0=b.(-l0)+d.0+ty, y2=b.0+d.l2+ty, yr=a.l0+d.0+ty
従って
tx=(x0+x4)/2, a=(x4-tx)/l0, c=(x2-tx)/l2,
ty=(y0+y4)/2, b=(y4-ty)/l0, d=(y2-ty)/l2
と得られる.
各面についてこれらのパラメータを計算すると, PostScript風には
gsave
[a b c d tx ty] concat
l0 neg 0 moveto l1 neg l1 lineto 0 l2 lineto l1 l1 lineto l0 0 lineto closepath
stroke
grestore
で描けてしまう. 分かってみるとなーんだということになる.

前回の最初の図の各面にあるA, B, C,...など面の名は, 実はこうして描いたものであった. (だから見えない面の名は裏返しになっていた.)

これまでは5つの頂点すべてを変換していたが, この方式では3つだけでよい. しかし, 正多面体では正三角形の面のものが多いから, これでは得にはならず, 正多面体描画道楽で利点があるのは正十二面体(と正六面体)だけであるが, こういうことを考えておけばまた役立つこともあろう.

多面体描画道楽

正多面体の図を何度も書いているうちに, 結構上達してきた. 今回は正十二面体を例に, 私流の描き方を説明したい.


ここに示すのが正十二面体である. 赤がx軸, 緑がy軸, 青がz軸である. 基本の面として正五角形の頂点に0,1,...,4と番号のある面(A)をとる.

以前のブログ(2008年9月19日)にあった正五角形は, 2と3でこの基本面に接している右上の面(E)である.

とりあえず正五角形の対角線の長さを思い出してみる.

1辺ABの長さを1とする. 対角線ACを計算したい. ニ等辺三角形だから∠BAC=∠ACB=∠CBD=αである. ∠BDAは三角形の外角だから2αである. これは内側の小さい正五角形の外角でもあるから, 72度であり, 従ってαは36度である. ∠ABCは正五角形の内角だから108度で, ∠CBD=36度だから, ∠DBAは72度 =∠BDA ∴△ABDは2等辺三角形であった. 従ってAD=1. △ABCは△CDBと相似だから CDの長さをaとすると, (a+1)/1=1/a 従ってa=(√5-1)/2, 対角線の長さはa+1=(√5+1)/2≒1.6180つまり黄金比である.

これがわかれば正十二面体のAの面の各頂点のx,y,z座標が決る.
頂点0と頂点4の間の辺の長さを2とすると,
頂点0の座標:(?,-1,0) (x座標は後で決める)
頂点4の座標:(?,1,0)
頂点2の座標:(1,0,?)となる.
次に頂点3のx座標はE面の対角線なので, (√5+1)/2. y座標はA面の対角線なので, (√5+1)/2. z座標はI面の対角線なので, (√5+1)/2.
つまり
頂点1の座標:((√5+1)/2,-(√5+1)/2,(√5+1)/2)
頂点3の座標:((√5+1)/2,(√5+1)/2,(√5+1)/2)
となる.
ところで正多面体は球に内接するから, 中心から頂点3までの長さと頂点4までの長さは等しい. 従って頂点4のx座標をxとすると
x²+1²+0²=3*(√5+1)/2)²
従ってx²=(6√5+18)/4-1=(6√5+14)/4. x=(√5+3)/2.

座標に使う長さを l0=(√5+3)/2, l1=(√5+1)/2, l2=1とすると,
A面の頂点の座標は, 頂点を面の外側から見て時計回りに
(list (list l0 (- l2) 0) (list l1 (- l1) l1) (list l2 0 l0) (list l1 l1 l1) (list l0 l2 0))
である. 回り方を決めるのは, 隠面消去のために各面の法線を計算するから .

残りの11の面は, 対称性を考えればx, y, z軸まわりの直角の回転, yz, zx, xy面に対する反転で得られる. すなわち
B面はA面のxy面に対する反転 C面はA面のyz面に対する反転
D面はC面のxy面に対する反転 E面はA面をx軸まわりの回転のy軸まわりの回転
F面はE面のzx面に対する反転 G面はE面のxy面に対する反転
H面はG面のzx面に対する反転 I面はE面のy軸まわりの回転のz軸まわりの回転
J面はI面のyz面に対する反転 K面はI面のzx面に対する反転
L面はK面のyz面に対する反転
である. 反転の場合は頂点の時計回り順を維持すべく, リストを逆順にする.

これですべての面の頂点の座標が揃った.
上の図は正面から見た図を, z軸まわりに15度回転し, さらにy軸まわりに-15度回転してから, 正面(x軸方向)から見た図である. 前のブログの記述の「左に寄せる角度をθ, 手前に引く角度をφとする」との対比では, θはz軸まわりの回転角, -φがy軸まわりの回転角である.

すべての座標を上述のように回転し, x軸方向から見た絵を描くには, y座標を2次元画面のx座標に, z座標を2次元画面のy座標にするだけでよい.

隠面消去も簡単である. すべての面の法線方向を求める.
それには頂点リストの0番-1番, 2番-1番で, 1番から出た0番方向と, 2番方向のベクトルが得られ, この外積をとると各面の法線方向が得られる. そのx成分が正ならこちら向きの面だし, 負ならあちら向きの面である.
すべての面をこうしてx成分の負のものと, 正のものに分け, あちら向きの面を灰色の線で描画した後, こちら向きの面を黒で描画した.

いい忘れたが, 今回の計算はすべてSchemeで行い, 最後にPostscriptのファイルを出力した. 座標軸や面の文字は, こうして出来たPostscriptのファイルに追加したものである.

ヴァレンタインデイ

節分がすんだと思ったらもうヴァレンタインデイだ. 皆さんはチョコレートを連想するだろうが, 私の場合はShakespeareの戯曲のHamletにあるOpheliaの歌である.

4幕5場ですでに正気を失っているOpheliaが歌う. 「明日はヴァレンタイン」と. とりあえずは明日がヴァレンタインデイから連想したのだが, もう少し続ける.

To-morrow is Saint Valentine's day,
All in the morning betime,
And I a maid at your window,
To be your Valentine.
Then up he rose, and donn'd his clothes,
And dupp'd the chamber-door;
Let in the maid, that out a maid
Never departed more.

小田島訳はこうだ.

ヴァレンタインのお祭の日は
  朝早くからいそいそと,
恋しい人の窓辺に立って
  乙女の胸をときめかす.
恋しい人は部屋の戸開けて
  迎え入れるの手をとって
入った娘が出てくるときは
  もはや娘じゃないからだ.

逍遥訳はこうだ.

あすは十四日ワ"レンタインさまよ,
門(かど)へ行こぞや, 引明方に,
ぬしのお方はなろずもの.
それと見るより門の戸あけて,
ついと手を取り引入れられたりゃ
純潔(うぶ)な處女(むすめ)ぢゃ戻られぬ.

この2人の訳にはいつも時代の変遷を感じる.

このあたりのOpheliaのセリフはひたすら悲しい. そして5幕7場の王妃のセリフも嘆きに溢れている. 有名なMillaisのOpheliaの絵はこのセリフに基づいている.

ところでOpheliaの「valentine」をどうやって探すかだ. 私はアメリカ滞在中に求めた, 1600ページもの「The Harvard Concordance to Shakespeare」を持っているので, 検索はいつでも出来る. Concordanceはコンピュータ屋の言葉ではKWICインデックスである. これで「valentine」を引くと, Hamletには上記の2語しか見つからない. 驚くことに「valentine」が50回以上現れる戯曲があった. Two Gentlemen of Veronaである. この2人の紳士のうちの1人がValentine君であった.

ブラウザがあれば, 検索は簡単だ. http://shakespeare.mit.edu/へ行くとcommediy(喜劇), history(史劇), tragedy(悲劇)の目次があり, 例えばそこで悲劇のHamletへ行く. 左上にEntire play in one pageというリンクがあり, それで全体を取り込み, 検索するのである.

このURLを忘れたら, complete works of shakespeareでgoogleサーチすればよい.

節分

春節(旧正月)がすんで1週間たったので, 夜外へ出てみたら, 上弦の月が霞んでいた.
「月も朧に白魚の篝も霞む春の空」
になったのかも知れない.
「ほんに今宵は節分か」
は白波五人男のせりふ.

NHKのテレビは変なことをいっていた. 今日は節分, だから明日は立春と.
逆ですよね.

夜, 豆まきをした. いつも私の役目だ.

私の子供のころ, 母親がやっていたことを未だに私はやっている.
家族それぞれの年齢の数だけの大豆を集めて半紙に包む.
昔はそれに1銭硬貨もいれてお捻りにする. (今は1円)

年の数が多いと, 10の桁の数と1の桁の数を足したものにする. それでも多いときは? もう一度このようにする. たとえば78歳なら78粒は多いので7+8=15とする. それでも多ければ1+5=6とする. 繰り返すのはいやなので閉じた式にする. つまり(modulo n 9)となる.
9歳の子供は9粒だから, (+ (modulo (+ n 8) 9) 1)というべきである. でも今度は0歳が9粒になってしまった. はて? それはさておき...

それで家族一人一人の背をさすり, 外へ出て四つ角へ棄ててくる.
後は後を振返らずに家に帰る.

それで外へ出, 月を見たのであった.

そういう伝統はいつまで続くかなぁ.

開平法

江戸時代の和算の書, 塵劫記を岩波文庫で読んでいたら, 開平法の項があった. 「開平法を商実法により除之事」というタイトルである. 開平法は平方根をとること, 商実法はそれぞれそういう名称の3つの算盤である. これを除すること とは開平も除算の一種と思われていたからであろう. 商には除算の商と同じで, 平方根が得られる. 実には部分剰余を置く. 法には実から引く数を置く. 何々を法として...というのと同じだ. そう考えると, 和算用語はまだわれわれの周辺に存在していると気づく.

塵劫記では, 解法はすべて実例によるから, 「ここに15129坪有り. これを四方になしては, なにほどに成るぞといふ時に, 123間四方.」のような記述だ.

彼らはなにをやったか見てみよう. 下図参照. われわれの筆算での例も示す. 以下の(a), (b), (c)は下図のa, b, cに対応する.

(a) 「実に15129坪と置き, まず位を見る. 一十百, 一十百とかずへて, あがりたる時, 百と二度あたらば, 百の位と定め,」と始まる. 文頭の「実に」はindeedではなく, 「実という算盤に」の意である. 最上位が100の自乗の位置であることを見つける. 「商に百と置き, 扨, 下法にて, 百より又一十百とあがりて, 百と置き,」



4つ目の算盤は「下法」という名で(塵劫記には「下方」と書いてあったりする), いまは2桁左へシフトしてある. (算盤がずらして置いてある.) 商と下法に百と置くのである. 百の桁に置くのは分かるが, 平方根のその桁をどうして1と決めたかは書いてない.

「この上の法にて, 下法の百, 商の百をよぶ時, 1万坪と成り, 実で除之. 実に残りて5129坪有り.」

下法の百, 商の百を「よぶ」とは, 掛けることと思われる. 上の法にてだから, それを法に置き, 実から引くわけである. (ここでの「除く」は「引く」) 図中の入れ子の正方形の濃い正方形を引いたことになる. 筆算と比べれば, 左部分の a の行が下法, 中部分の a が実, 中部分の b が法である.


(b) 「商の百の次に2十と置く. さて, 下法をば, 1位下げて, 百を1倍して2百と置き, この下に又2十と置く. 」 昔の1倍は今の2倍のことらしい. 商に2十を置いたのは, 平方根の次の桁が決ったのである. この決り方も理由は不明. 百を1倍しで, 筆算の c の行の左の 2 が出来たことになる. 図でいえば1辺100の(下と左の)2辺分が出来た. 又2十を置くは, 正方形の図の薄い部分を引く準備で, 左下の薄い正方形の1辺を足した. 220に20を掛ければ, この部分の面積が得られる.

「さて, 法にて, 下法の2百に商の2十をよぶ. 22の4千, 22の4百, 此の4千4百を実にて引くべし.」 下法の200は220の誤りである. それに20を掛けて引く.

「実に, 残りて729坪有り.」

(c) 「商に, 2十の次に3と置く. 下法をば1位をさげて, 2十を1倍して4十と置く.」 これで e の 24 が出来た. 「此の下に又3と置く. さて, 法にて, 商の3をもって下法によぶ. 23の6百, 34の百2十, 33の9と置くとき, 法に729坪有り. これを実にて引きはらふ也. さて, 商を見れば, 123間四方に成る也.」

大体は分かるが, 平方根の桁に何が立つかの判定は勘によるのだろうか.


塵劫記には開立法, つまり立方根の求め方も書いてあった. 「坪数1728坪有り. これをたて, よこ, たかさ, おなじたけにしてなにほどぞといふ時に, 12間六方也.」私もまだこの開立法の解読はしていないが, この1728が12の3乗なことは覚えている人も多かろう. ところで坪は平方間と思っていたが, 立方間も坪というのかな.

9の3乗=729も覚えている人に:
「彼(Ramanujan)がパトニーで療養していた時, 見舞いにいったのを(Hardyは)覚えている. 1729番というタクシーに乗ったので, その数には何の面白味もないといい, それが悪い予兆でないことを望むといった. 『いや』彼は答えた『それは非常に興味のある数だ. それは二通りで二つの立方数の和で表現出来る最小の数だ』」 (計算機プログラムの構造と解釈 第二版 203ページ 脚注70) 1729=12³+1³=10³+9³だから, Ramanujanでなくても知っていた人はいたに違いない.

開平法

手回し計算機は十進である. 二進でも事情は変らない. むしろ簡単といえる.

1000000000 (2^9=512) を筆算で開平する手順は以下のとおり.



左部分は2x+yを作っているから, 最後の平方根はkの行の左部分の半分,　10110(=22)で, 剰余はkの行の中部分の 11100(=28) である. つまり22*22+28=512である.

これをプログラムに書き直したのは, 以下のとおり. 途中経過を印字する行はいらない.

(define (sqrt n)
  (define (ss n s) (if (> (* s 4) n) s (ss n (* s 4))))
  (define (sq n q s)
    (display (list 'n n 'q q 's s)) (newline)
    (if (> s 0)
      (let ((a (+ q s)))
        (if (>= n a) (sq (- n a) (+ (/ q 2) s) (quotient s 4))
             (sq n (/ q 2) (quotient s 4))))
      (cons q n)))
  (sq n 0 (ss n 1)))

下請け関数 sq の引数 n は部分剰余, q は 部分平方根, s は計算中の位置を記憶するストロブである. 各ステップで, 部分剰余と比較する数 a を作り, 引けるなら部分剰余は n-a になり, 次の部分平方根とストロブを作る. 引けなければ部分剰余はそのまま, 平方根は1桁右にずれるだけである.

もう1つの下請け関数 ss は, 1から4倍を繰り返し, n と比較しながら最初のストロブの位置を決める.

512を開平した時, n, q, sの状態は次のとおり.

 (sqrt 512)
(n 512 q 0 s 256)
(n 256 q 256 s 64)
(n 256 q 128 s 16)
(n 112 q 80 s 4)
(n 28 q 44 s 1)
(n 28 q 22 s 0)
=> (22 . 28)

以前のブログに書いた個人用電卓 Happy Hacking Calculatorの開平は, 基本的にこの方法を採用している.


ところで, これまでの二進の開平では, 引けるかどうかを見て, 引ければ引くという方法であった. これに対し二進の開平では, 引放し開平が出来る. つまり引きすぎて部分剰余が負になったら, 足し戻さず, 次のステップでは足すのである. 理屈は面倒なので書かないが, 512をこの方法で開平する様子を示す.



この方法ではまずストロブの位置から1を引く. 部分剰余が正なら, 部分平方根の最後に101をつけたものを引く. 負なら, 011をつけたものを足す. 平方根は最初の無条件の減算を除き, 引いたときは1, 足した時は0として作る.最後の桁を1として追加する. 従ってこの方法では, 平方根は必ず奇数になり, 剰余も正だったり負だったりする.

512を開平すると, 引く, 足す, 引く, 引くとやったので, 1011となり, 最後に1を追加して, 10111 (=23)が得られる. 剰余は -17 である. 23*23-17=512になっている.

平方根が q, 剰余が r で負の時は, 平方根が奇数なので最後の1を0に変る. つまり平方根を q-1にする. 平方根が q の時, 剰余が r なので, 新しい剰余を r' とするとq*q+r=n=(q-1)*(q-1)+r' だからr'=r+2(q-1)+1 とすればよい. 上の例では, 23から1引いた22が平方根, その剰余は-17+2*22+1=28 と得られる.

開平法

手回し計算機で開平するには, 手回し計算機のことも説明する必要があろう.

1950年頃からリヒテンシュタインで製造されていた, Curtaという小さい機械式の計算機があった. 設計したのはCurt Herzstarkで, 第二次世界大戦中, ドイツ軍に抑留されていたときに設計したといわれている.

サーチエンジンでCurta Calculatorを探すとサイトがいくつも見つかるが, 精巧なシミュレータはここ, マニュアルはここにある.

シミュレータの説明用に私が描いたCurtaの絵は下の通り.






上が正面図, 中が平面図である. 下は説明用の図(表?)だ.

Curtaは筒状で, 正面下側に8桁のSetting Registerがあり, 赤で示すノブを下げると0から9までの各桁の値が設定できる. シミュレータでは同時に下の表のSETTING DIALにも値が入る. Operation HandleをZero Positionから時計方向に1回転(平面図でHandle から下に出ている矢印をクリック)すると, この値がResult Dialに足される. HandleはZero Positionまで回す.

Curtaの上方には, 左右に5桁分回転できるCarriageがあり, 平面図ではこれが見えている. Carriageの上面には, 11桁のResult Dialと6桁のRevolution Counterがある. Carriageがこの図の位置なら, Setting Registerの値は, Result Dialの最下位に足される. 正面図のCarriageの右の赤い矢印をクリックすると, 平面図のCarriageは反時計方向に1桁分回転し, その位置では下から2桁目に足される.

Operation Handleを1回転すると, Setting Dialの最下位に対応するRevolution Counterに1足される. 従ってSetting Dialに34を置き, Carriageの最初の位置でHandleを6回転し, Carriageを1桁回し, 3回転すると, Result Dialには34*36=1224が入り, Revolution Counterには36が入る.

平面図で11時の方向に出ている輪のようなものは, Clearing Leverで, Revolution CounterとResult Dialの境界に止まり, どちらかに回転すると, そのCounterやDialがリセットされる.

Curtaの正面図で, Setting Registerの右に見えるReversion Leverは, ノブが図の位置では, Handleの回転でRevolution Counterに1足され, ノブを下に下げると, Counterから1引かれる.

Curtaの特色の1つは, 補数計算をするので, 減算でもOperation Handleを加算と同様に時計方向に回すことだ. ただしOperation Handleに右にある上向き矢印をクリックし, 回転軸を上に少し引き抜く. 加算に戻すには, 減算時に下向きになっていた矢印をクリックして, 回転軸を押し下げる.

除算の時は, 被除数をResult Dialに, 除数をSetting Dialにセットし, Reversion Leverを下位置にし, 回転軸を引き抜き, 各桁で引けなくなるまで回転し, Revolution Counterに商を, Result Dialに剰余を得る.

さて, 手回し計算機での開平は, 20x+1, 20x+3, ...,20x+17と引く代りに, 被開平数を最初に5倍し, 100x+05, 100x+15, ..., 100x+85と引く. Setting Dialの最下位を5に固定し, 十の桁を0,1,2,...と変えながら引く. 引ける回数は同じなので, 平方根も5倍せずに得たのと同じである. もちろん剰余は5倍になっている.

その様子を下に示す. まず200000000の5倍をResult Dialに置き, Carriageを右方へ寄せておく. 短い横線は減算を, 長い左向き矢印は, Carriageを1桁左へ移動することを示す.




赤字は十の桁が, 0,1,2,...と変る様子を, 青字はRevolution Counterが増えていく
様子を示す. 最後の剰余は, 前回の開平で得られた3836の5倍である.