前回のような表を書くと
n | nusum | νn | es |
2r-1 | nusum 2r-1 | r | (r-1 r-2 r-3 ... 0) |
2r | nusum 2r | 1 | (r) |
羃の列が(r-1 r-2 r-3 ... 0)のnusum (2r-1) の式は
nusum (2r-1) = (r-1)2r-2 + (r-2+2)2r-3 + (r-3+4)2r-4 + ... + (0+2r-2)2-1
で, これにrを足したものが
nusum 2r = r.2r-1
になればよい.
nusum (2r-1)
={各項の係数の中を計算する}
(r-1)2r-2+r2r-3+(r+1)2r-4+...+(r+(r-2))2-1
={降順の羃の列で同じ係数を持つものをならべる}
(r-1)2r-2+(r-1)2r-3+(r-1)2r-4+...+(r-1)2-1 {1行目}
+2r-3+2r-4+...+2-1 {2行目}
+2r-4+...+2-1 {3行目}
+2r-5+...+2-1 {4行目}
+...
+2-1 {r行目}
={各行を2p+2p-1+... +2q=2p+1-2q で置き換える}
(r-1)(2r-1-2-1)
+2r-2-2-1
+2r-3-2-1
+...
+20-2-1
={1行目を展開し2行目以下の第1項を足し合せる 2行目以下のr-1個の2-1を足す}
(r-1)2r-1-(r-1)2-1+(2r-1-20) -(r-1)2-1
={いろいろ消えて}
r2r-1-2r-1-(r-1)+2r-1-1
=r2r-1-r.
rを足せばnusum 2rになる.
存外簡単であった.
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