多面体描画道楽

Archimedes多面体13種のうち, rhomb(斜方とか菱形)という形容詞のつくものが2つある. 斜方立方八面体と斜方二十十二面体である. 何ゆえに斜方といわれるのか.





これらの図に示すように, この2種類の多面体には, それぞれ3種類の面がある.

斜方立方八面体では, 青は元々の立方体の面, 緑は正八面体の面である. 斜方二十十二面体では, 青は元々の正十二面体の面, 緑は正二十面体の面である.

では, それぞれの赤の面はなにか.

赤の面を延長して, 緑の面の上方での交点を決め, 赤の正方形に外接する菱形を考えることが出来る. 赤は元々そういう面の多面体の面である.

この多面体がどちらも菱形になるので, 斜方といわれる所以である. つまり, 斜方(赤)立方(青)八(緑)面体, 斜方(赤)二十(緑)十二(青)面体という命名であったわけだ.

ではその斜方多面体を描いてみよう.


上は斜方立方八面体である. ｘ, y, zの対称軸も描いてある. z軸(青)のまわりに少し回転し, y軸(緑)のまわりにも僅かに回転したようになっている.


そのz軸, y軸まわりの回転をやめ, x軸方向から眺めたのが, この上の図だ. そこで, 最初の赤い正方形を含む面を考えてみると, この図の赤線で示す菱形が得られる. その座標が分かれば, 次の図が描けるわけだ.



これは, 対角線の比が1:√2の菱形が12個で構成されているので, 斜方十二面体(rhombic dodecahedron)という.


斜方二十十二面体の方は, 面が多いせいか, 多少手ごわい.



これが元の斜方二十十二面体で, 上と同様にz軸, y軸について回転してある.



回転角を0とし, x方向から眺めると, このように見えるはずだ. 赤線はそこにかぶせた菱形である. この方は, 菱形30枚で構成され, 斜方三十面体(triacontahedron)という.



菱形の対角線の比は1:φ(黄金比)である.

同一の菱形だけで出来る多面体はこの2つだけらしい. またKeplerはこの2つの多面体のあることを知っていたといわれる.