2011年2月21日月曜日

乗算表

「昔のウクライナの人たちはこうやって計算した」と話し出したのはMike Williamsさんだ.



指を出し, 小指の外から指の間を順に0,1,2,...と数える. 親指を飛び越えると5になる. そこで折り返し, 6,7,...と続ける. 小指を過ぎると10になる.

さて, 7×8をウクライナの人はどう計算するか. 片手(左とする)の指をさっき7と数えたところで, 上下に開く. 反対の手(右とする)でも, 8と数えたところで, 上下に開く. 左の上の指が2本. 右の上の指が3本. 左の下の指が3本. 右の下の指が2本となる.

10×(上+上)+(下×下)と計算する. つまり 10×(2+3)+(3×2)=56 が答だ.

下の指は最大で5だから, 5×5までを知っていれば良いのだ.

これで5<M,N≤10について, M×Nが計算出来る理由を, 下の色付きの図で説明する.




まず上左の図. 縦軸がMで, 中央に5があるから, Mは中央より上にある. 横軸がNで, Nも中央より右にある. この場合, Mの上(upper) MuとMの下(lower) Ml, Nの上(upper) NuとNの下(lower) Nlはそれぞれ図に示す範囲だ. 従ってMu×10は, 途中で色が変っているが, 横ハッチの部分である. 一方, Nu×10は, 縦ハッチの部分だ. そしてMl×Nlは, 斜めハッチの赤い部分である.

ところで, この図の右上の4半分は, 図の中心で180度回転すると, 左下に移すことが出来て, 右の図のようになる. Dと書いてある縦ハッチと横ハッチが重なっている部分は, 面積の計算で2回足しているが, 右上のD'のところへ移動することが出来, 全体がちょうどM×Nになるのである.

下の, 白黒の淋しい図は, 乗算の一方が≤5の時の方法である. 今, Mの方が5より小さいとする. M×Nは, 図では, ハッチに囲まれた左下の小さい白い部分である. この場合は 50−(10×Mu+Ml×Nl)と計算することになるが, これは面倒な気もする.


昔のウクライナ人に聞いてみたい.

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