微分解析機

機械式の微分解析機では, 変数同士の乗算は, 積分機を2台と加算でするのだと思っていた. ところが図面に乗算卓というのがあり, 積分をせずとも乗算しているらしかった.

幾何学での乗算法はよく知られている.



点Pから半直線を引き, PA=a, PB=bとなる点A, Bをその上に取る. またPから別の半直線を引き, PC=1の点Cを取る. A,B,Cを通る円Oを描き, PCの延長上で円との交点をDとするとPDの長さxがa*bになっている.

これは方冪の定理による. その説明が次の図である.



PO²-AO²を考える. 正三角形POMでPythagorasの定理を使うと
PO²=PM²+OM²
同様に
AO²=AM²+OM²
辺々相引くと
PO²-AO²=PM²-AM²=(PM-AM)*(PM+AM)=PA*PB
つまりまえの図のPA*PB=a*b=PO²-AO²
=PO²-半径²=一定

である.

しかし微分解析機でこれをやっているか疑問であった. ところである文献に微分解析機の使い方の説明があり, 乗算卓の記号が下の図のようになっていた.



元々の記号に赤や青の色はない.

微分解析機からs, t, xの3本の軸で接続されている, s*t=xと出力が出るらしい.

x軸の右にはハンドルのような絵がある. そこで考えてみて, こうなっていると推測した. t軸が廻転すると, 軸に接続されている赤色のT型の足が円の中心を軸に振れる. 一方s軸の廻転で青い棒が左右に移動する. オペレータはハンドルを廻し, 青軸上のカーソルを赤線の上に保つのである. そのハンドルの廻転がx軸で出力される.

その説明が次の図だ.



円の中心がAの点である. tもsもAから左右に計測する. tが増えるとB点は左へ移動し, ABと直角についている腕, ADも一緒に廻転する. EDの長さをxとすると, 三角形ABCと三角形ADEは相似であり, ACの長さを1とすると, 1/t=s/x 従ってx=s*t である.

そういう乗算卓を使っていたとは面白い.