複素数用計算尺

複素数用の計算尺があると知って, 例によってその絵を書いてみることにした. 複素数 x+iy の対数は実部が (log (sqrt (+ (* x x) (* y y)))), 虚部が(atan (/ y x))なので, Schemeで実験する. SchemeにはComplex型があるので, こういう時は便利だ.

(* 2+i 3+2i) => 4+7i

(define (clog x y)                                                              
 (list (log (sqrt (+ (* x x) (* y y)))) (atan (/ y x))))                        

と定義し

(clog 2 1) => (.8047189562170503 .4636476090008061)  ;log 2+i
(clog 3 2) => (1.2824746787307684 .5880026035475675) ;log 3+2i
(clog 4 7) => (2.0871936349478184 1.0516502125483738);log 4+7i

(+ .8047189562170503 1.2824746787307684) => 2.087193634947819
(+ .4636476090008061 .5880026035475675) => 1.0516502125483735

たしかに(clog 2 1) + (clog 3 2) = (clog 4 7) であった.

次にとりあえず x=1 にし, y= -10から1おきに10まで変えながら, clogをとると,

                                                                           
(do ((y -10 (+ y 1))) ((> y 10))                                                
(display (clog 1 y)) (newline))                                                 

(2.30756025842063 -1.4711276743037347)
(2.2033596236321267 -1.460139105621001)
... 7行省略
(.3465735902799727 -.7853981633974483)
(0 0)
(.3465735902799727 .7853981633974483)
...7行省略
(2.2033596236321267 1.460139105621001)
(2.30756025842063 1.4711276743037347)

この数値を元に, 拡大や移動しながら, 曲線を描いてみた.


ここまで出来ればあとはPostscriptの出番である. PostScriptによるプログラムは以下のようだ.

/xscale 240 def /yscale 200 def
50 250 translate
/re {x x mul y y mul add sqrt log} def
/im {x y atan dup 180 gt {360 sub} if 100 div} def
/x 1 def /y 0 def re xscale mul im yscale mul moveto
xscale 2 mul 0 rlineto stroke
1 1 10{/x exch def
/y x -10 mul def
re xscale mul im yscale mul moveto
x -10 mul 0.1 x 10 mul{/y exch def
re xscale mul im yscale mul lineto} for
stroke} for

1 0 0 setrgbcolor
/y 1 def /x 0 def re xscale mul im yscale mul moveto
xscale 2 mul 0 rlineto stroke
1 1 10{/y exch def
/x y -10 mul def
re xscale mul im yscale mul moveto
y -10 mul 0.1 y 10 mul{/x exch def
re xscale mul im yscale mul lineto} for
stroke} for

基本の部分を曲線群を以下に示す.

アルファベットで示す各点の複素数と, 座標は

A 1   (0.0 0.9)
B +i  (0.0 0.0)
C 1+i (0.15051499 0.45)
D 2i  (0.30103 0.0)
E 1+2i(0.349485 0.265650511)
F 2+i (0.349485 0.634349465)
G 5i  (0.69897 0.0)

であり, (* 1+i 1+i)=2i, (* 1+2i 2+i)=5i なども読み取れる.

計算尺として使うには, 一方を透明, 他方を不透明の紙に, この図を2枚用意し, 1+2i(E) * 2+i(F)を計算するには, 不透明の図のEに透明のAを重ね, 透明の図のFの下の不透明の図を位置を読むのである. 透明の紙は不透明の紙と平行に動かさなければならない.

なお, 詳しいウェブページはhttp://cs.stmarys.ca/~dawson/sliderule.gifとhttp://ci.nii.ac.jp/naid/110000218130/enにある.